Question

已知f(x)=1+log2x(1≤x≤4),函数g(x)=[f(x)]2+f(x...

已知f(x)=1+log2x(1≤x≤4),函数g(x)=[f(x)]2+f(x2), 求:(1)函数g(x)的定义域;(2)函数g(x)的值域.

Answer 1

(1)由题意f(x)定义域为{x|1≤x≤4},
因为1≤x≤4,所以由1≤x2≤4得-2≤x≤-1或1≤x≤2
则f(x2)的定义域为{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2};
而[f(x)]2以的定义域与f(x)定义域相同,为{x|1≤x≤4}
所以,g(x)的定义域为{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}∩{x|1≤x≤4}={x|1≤x≤2}
(2)设log2x=t,则[f(x)]2=(1+t)2,f(x2)=1+(log2x2)=1+2log2x=1+2t
g(x)=t2+2t+1+1+2t=t2+4t+2
因为x∈[1,2],所以t∈[0,1]
g(x)=t2+4t+2=(t+2)2-2
当t∈[0,1]时g(x)值域为[2,7]