选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|x-1|+2|x-a|,a∈R.(Ⅰ)当...
选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|x-1|+2|x-a|,a∈R.(Ⅰ)当a=-1时,求不等式f(x)≥5的解集;(Ⅱ)若不等式f(x)≥5对∀x∈R恒...
选修4-5:不等式选讲 设函数f(x)=|x-1|+2|x-a|,a∈R. (Ⅰ)当a=-1时,求不等式f(x)≥5的解集; (Ⅱ)若不等式f(x)≥5对∀x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
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解:(1)当a=-1时,f(x)≥5⇔f(x)=2|x+1|+|x-1|≥5,
①当x<-1时,不等式可化为:x<-1-2(x+1)-(x-1)≥5,
解得:x≤-2;
②当-1≤x≤1时,不等式化为:-1≤x≤12(x+1)-(x-1)≥5,解得:x∈∅;
③当x>1时,不等式化为:x>12(x+1)+(x-1)≥5,解得:x≥43,
∴当a=-1时,不等式f(x)≥5的解集为:(-∞,-2]∪[43,+∞);
(2)不等式f(x)≥5∀x∈R对恒成立,即∀x∈R,f(x)min≥5.
当a>1时,f(x)=-3x+1+2a,x<1-x-1+2a,1≤x≤a3x-1-2a,x>a,
∴f(x)min=a-1≥5,即a≥6;
当a=1时,f(x)=-3x+3,x<13x-3,x≥1,
∴f(x)min=0,不符合;
当a<1时,f(x)=-3x+1+2a,x<ax+1-2a,a≤x≤13x-1-2a,x>1,
∴f(x)min=-a+1≥5,即a≤-4,
综上所述,a≤-4或a≥6.
①当x<-1时,不等式可化为:x<-1-2(x+1)-(x-1)≥5,
解得:x≤-2;
②当-1≤x≤1时,不等式化为:-1≤x≤12(x+1)-(x-1)≥5,解得:x∈∅;
③当x>1时,不等式化为:x>12(x+1)+(x-1)≥5,解得:x≥43,
∴当a=-1时,不等式f(x)≥5的解集为:(-∞,-2]∪[43,+∞);
(2)不等式f(x)≥5∀x∈R对恒成立,即∀x∈R,f(x)min≥5.
当a>1时,f(x)=-3x+1+2a,x<1-x-1+2a,1≤x≤a3x-1-2a,x>a,
∴f(x)min=a-1≥5,即a≥6;
当a=1时,f(x)=-3x+3,x<13x-3,x≥1,
∴f(x)min=0,不符合;
当a<1时,f(x)=-3x+1+2a,x<ax+1-2a,a≤x≤13x-1-2a,x>1,
∴f(x)min=-a+1≥5,即a≤-4,
综上所述,a≤-4或a≥6.
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