Question

不定积分这道题怎么做的呢？

Answer 1

其过程可以是。令x+1/2=(√3/2)tanθ。
∴原式=∫secθdθ=∫secθ(secθ+tanθ)dθ/(secθ+tanθ)=∫d(secθ+tanθ)/(secθ+tanθ)=ln丨secθ+tanθ丨+C。
∴原式=ln丨2x+1+2√(x²+x+1丨+C=ln丨x+1/2+√(x²+x+1丨+C。
供参考。

Answer 2

∫d[x+(1/2)]/√[(x+1/2)²+(√3/2)²]【令x+(1/2)=t】【为了看得比较清楚，分两步替换】
=∫dt/√[t²+(3/4)]=(2/√3)∫dt/√[(2t/√3)²+1]
【令2t/√3=tanu，则t=[(√3)/2]tanu, dt=[(√3)/2]sec²udu】
=∫[sec²u/√(tan²u+1)]du=∫secudu=ln(secu+tanu)+c₁;
【其中，tanu=2t/√3=(2x+1)/√3; secu=√(tan²u+1)=[2√(x²+x+1)]/√3】
=ln[(2/√3)√(x²+x+1)+(2x+1)/√3]+c₁
=ln[(2/√3)√(x²+x+1)+2(x+1/2)/√3]+c₁
=ln[(x+1/2)+√(x²+x+1)]+ln(2/√3)+c₁
=ln[(x+1/2)+√(x²+x+1)]+c;
其中c=c₁+ln(2/√3)；