Question

已知2^a*5^b=2^c*5^d=10,求证(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)

如题

Answer 1

两边同时去以10为底的对数
lg(2^a*5^b)=1——>alg2+blg5=1——>b=(1-alg2)/lg5
lg(2^c*5^d)=1——>clg2+dlg5=1——>d=(1-clg2)/lg5
则
(a-1)(d-1)=(a-1)((1-clg2-lg5)/lg5)
=(a-1)(lg2-clg2)/lg5=(a-1)(1-c)(1-lg2)/lg5
=(a-1)(1-c)
(b-1)(c-1)=(1-alg2-lg5)(c-1)/lg5
=(lg2-alg2)(c-1)/lg5=(1-a)(c-1)lg5/lg5
=(1-a)(c-1)
显然(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)
等式成立。