Question

微积分 求极值

求这个的极值实在是不会求求了
急要答案

Answer 1

Answer 2

很明显：0≦f(x)≦1/e;
0≦sin²x≦1，故1≦(1/sin²x)<+∞；∴ 0≦e^(-1/sin²x)≦1/e，[有定义f(nπ)=0，故有最小值0]
即f(x)的最小值=0，(此时x=nπ)； 最大值=1/e，(此时x= nπ±π/2)；
讨论：
由f '(x)=[e^(-1/sin²x)]'=[e^(-1/sin²x)]•(-1/sin²x)'=[e^(-1/sin²x)]•[2cosx/sin³x)]=0
得cosx=0，故得驻点 ：x=2kπ±π/2;【请注意：x=2kπ±π/2与x=nπ±π/2在本质上是
一回事; 但在下面的讨论中只能写成x=2kπ±π/2】
∵e^(-1/sin²x)>0对任何x都成立，∴f'(x)的符号取决于(-1/sin²x)' =2cosx/sin³x 的符号，
因为是周期函数，为简化讨论，故只讨论k=0，即 x=±π/2时f'(x)的符号情况。
当x在-π/2的左侧时，cosx<0，sinx<0，此时f'(x)>0；当x在-π/2的右侧时，cosx>0，
sinx<0，此时f'(x)<0；故x=2kπ-π/2是极大点，极大值f(x)=e^[-1/sin²(2kπ-π/2)]
=e^(-1)=1/e；
当x在π/2的左侧时，cosx>0，sinx>0，此时f'(x)>0；当x在π/2的右侧时，cosx<0，
sinx>0，此时f'(x)<0；故x=2kπ+π/2也是极大点，极大值f(x)=e^[-1/sin²(2nπ-π/2)]
=e^(-1)=1/e；
附析：
此函数有极(最)大值1/e；无极小值；但有最小值0(系人为定义)。
此函数有无穷多个间断点，x=nπ都是间断点。在x=nπ处有极限0，本来无定义，但可人为
的定义为0, 所以只能叫最小点，但不能叫极小点。