Question

帮忙求解微分方程：dy/dx=x^2+y^2

Answer 1

x^2*dy/dx=xy-y^2

dy/dx=y/x-y^2/x^2

u=y/x y=xu y'=u+xu' 代入：

-1/u=lnx+lnC

Cx=e^(-1/u)

Cx=e^(-x/y)

来源及发展

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

Answer 2

移项dy/dx-y^2=x^2，这是典型的一阶非齐次微分方程。最代表的方法是常数变易法，但是那套理论比较麻烦：我只给你提供下几个关键步骤：
1、先求出dy/dx-y^2=0的通解y=Cf（x），方法为分离变量法；
2、由第一步得到通解中y=Cf（x）中的C换成C（x）【这就是“常数”变“易”】，这个假设为dy/dx-y^2=x^2的解，当然将y=C（x）f（x）代入，解出C（x），此时就得到了dy/dx-y^2=x^2的通解；
你可以解一下试试，如果有问题，你可以给我留言