Question

一道高数微分方程题目？

这道题最后用齐次方程的方法怎么求解呢

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

let
u(x)=f'(x)
xf''(x) +f'(x) =0
xu'(x) +u(x) =0
∫du(x)/u(x) = -∫dx/x
ln|u(x)| = -ln|x| +C'
u(x) = C1/x
f(x) =∫ (C1/x) dx
= C1.ln|x| + C2

Answer 3

letu(x)=f'(x)xf''(x) +f'(x) =0xu'(x) +u(x) =0∫du(x)/u(x) = -∫dx/xln|u(x)| = -ln|x| +C'u(x) = C1/xf(x) =∫ (C1/x) dx= C1.ln|x| + C2

Answer 4

解:∵曲线方程为y=f(x) ∴曲线在点(x,f(x))
处的切线方程为Y-f(x)=f'(x)(X-x)
∴切线在Y轴上的截距为f(x)-f'(x)x
∴根据题意，有f(x)-f'(x)x=(1/x)∫f(t)dt
|(0,x)，化为xf(x)-f'(x)x²=∫f(t)dt|(0,x)
两边同时求导，有xf'(x)+f(x)-f"(x)x²-
2xf'(x)=f(x)，f"(x)x+f'(x)=0，设
f'(x)=u(x)，有u'(x)x+u(x)=0，
du(x)/u(x)=-dx/x，ln|u(x)|=ln|a|-
ln|x|(a为任意非零常数)，u(x)=a/x
∴f'(x)=a/x，f(x)=aln|x|+c(c为任意常数) ∵x＞0 ∴f(x)=alnx+c 再将f(x)=alnx+c
代入原方程，得:axlnx+cx-x²(a/x)=
∫(alnt+c)dt|(0,x)，axlnx+(c-a)x=
axlnx-ax+cx-lim(t-0)(atlnt) ，得:
axlnx+(c-a)x=axlnx+(c-a)x ∴a与c没有必要联系，曲线方程为y=alnx+c