Question

在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠A=90º.BD是∠ABC的角平分线。求证：BC=AB+AD

Answer 1

方法1：过D做DP垂直BC于P
则：因为等腰直角三角形ABC。BD是∠ABC的角平分线
易证：△ABD≌△BPD，且DP=PC
所以：AB=BP，AD=DP=DC
所以：BC=BP+PC=AB+AD
方法2：延长BA到Q，做AQ=AD，
则易证：△BDQ≌△BPD，且AD=AQ
所以：BC=BQ=AB+AQ=AB+AD

Answer 2

过D向BC作垂线交BC于E，由BD是∠ABC的角平分线可知：∠ABD=∠EBD,又∠A=∠BED,则：三角形ABD全等于三角形EBD,所以AB=BE,AD=EC,BC=BE+EC=AB+AD,得证

Answer 3

作DE垂直BC于E
因为ABC是等腰直角三角形
所以c＝45°
所以在DEC中
DE＝EC
因为ABD全等EBD（一个公共边，一个直角，一个角平分线）
所以AB=BE，AD＝DE
所以AB＋AD＝BE＋DE=BE+CE=BC

Answer 4

证明：如图
过点d作de⊥bc于e
∵三角形abc是直角三角形，且ab=ac
∴∠a=90°，∠abc=∠acb=45°
∵bd平分∠abc
∴∠abd=∠cbd
∵de⊥bc
∴ad=de（角平分线上的点到角两边距离相等），de=ec
∴△abd≌△ebd
∴ab=be
∴bc=be+ec=ab+ad

Answer 5

证明：
作DE⊥BC于点E
∵△ABC是
等腰直角三角形
∴AB=AC，∠C=45°
∵AD平分∠ABC
∴∠ABD=∠EBD
∵∠A=∠BED=90°，BD=BD
∴△ABD≌△EBD
∴AB=BE，AD=DE
∵DE⊥BC，∠C=45°
∴DE=CE
∴BC=BE+CE=AB+AD