Question

一道高数题在线等求助追加50分

Answer 1

令f(x)=2+1/x，则x(n+1)=f(xn)
f[f(x)]=2+1/(2+1/x)=2+x/(2x+1)=2+(x+1/2-1/2)/(2x+1)=5/2-1/(4x+2)<5/2
则f[f(x)]严格单调递增
因为x1=2，x2=2+1/2=5/2，x3=2+2/5=12/5，x4=2+5/12=29/12

即x1<x3，x2>x4
因为x(n+2)=f[f(xn)]
所以x3=f[f(x1)]<f[f(x3)]=x5，x4=f[f(x2)]>f[f(x4)]=x6
同理可得：x1<x3<x5<x7<...，x2>x4>x6>x8>...
所以{奇数列}单调递增，且有上界=5/2
{偶数列}单调递减，且有下界=2
根据单调有界必有极限，则{奇数列}和{偶数列}分别收敛，分别令极限值为A和B
对奇数列，因为x(n+2)=f[f(xn)]，则lim(n->∞)x(n+2)=lim(n->∞)f[f(xn)]
A=f[f(A)]=5/2-1/(4A+2)=2+A/(2A+1)
A(2A+1)=2(2A+1)+A
2A^2+A=4A+2+A
2A^2-4A-2=0
A^2-2A+1=2
(A-1)^2=2
A=1+√2，（1-√2<2，舍去）
同理，B=1+√2
因为奇数列和偶数列均收敛于1+√2
所以lim(n->∞)xn=1+√2