Question

求积分∫ (x-sin(x)) (1-cos(x)^2) dx，上限是2π，下限是0

求过程（题源：基础三十讲的1.9.8的第二问）

Answer 1

利用奇函数对称性积分=0

简化计算

追问

(1-cos(x)^2)这里打错了。。。其实是它整个式子的平方(1-cos(x))^2

追答

本题考查主要知识点是积分中奇，偶函数简化计算。

Answer 2

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 3

令x=π+u，则对u积分的区间化为[-π,π],dx=du.
I = ∫<0, 2π>(x-sinx)[1-(cosx)^2)]dx = ∫<0, 2π>(x-sinx)(sinx)^2dx
= ∫<-π, π>(π+u+sinu)(sinu)^2du
= 2π∫<0, π>(sinu)^2du = π∫<0, π>(1-cos2u)du = π^2
题主改题后的解答：
令x=π+u，则对u积分的区间化为[-π, π], dx = du.
I = ∫<0, 2π>(x-sinx)(1-cosx)^2dx
= ∫<-π, π>(π+u+sinu)(1+cosu)^2du
= 2π∫<0, π>(1+cosu)^2du = 2π∫<0, π>[1+2cosu+(cosu)^2]du
= π∫<0, π>[3+4cosu+cos2u]du
= π[3u+4sinu+(1/2)sin2u]<0, π> = 3π^2

追问

(1-cos(x)^2)这里打错了应该是(1-cos(x))^2

追答

见补充解答

追问

谢谢