Question

sec^3x的不定积分是什么？

Answer 1

∫ sec^3（x） dx 

= ∫ secx d（ tanx）

 =secx tanx - ∫ tan^2 （x） secx dx

= secx tanx - ∫ (sec^2（x） - 1 ) secx dx

=secx tanx - ∫ (sec^3（x）dx+∫ secx dx

∴∫ sec^3（x)dx=1/2 secx tanx +1/2∫ secx dx

=1/2 secx tanx +1/2∫[sec^2(x)+secxtanx]/(secx+tanx)dx

=1/2 secx tanx +1/2ln|secx+tanx|+C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。