Question

矩阵a的秩小于n(n是未知数的个数)，为什么a的列向量组线性相关？求解答？

Answer 1

      

      为什么A的行秩小于n，A的行向量组线性相关?
      这个可以反着想，如果A的行线性无关，则说明这n行线性无关，线性无关的n个向量(列可以取为n)的行列式不为零。若A的行秩小于n的，则由这n行n列组成的行列式为零，矛盾。因此A的行向量线性相关。
      为什么向量组的秩小于向量组的个数，向量组就线性相关
      假设向量组1的极大无关组为α1、α2、αm，向量组2的极大无关组为β1、β2、βn，又因为向量组1可由向量组2线性表出，则α1、α2、、αm，可由β1、β2、、βn，线性表出，假设m>n，(根据定理 向量组A(s个向量)可由向量组B(t个向量)线性表出，且s>t，则向量组A线性相关。)则α1、α2、、αm，线性相关，矛盾，最终可得m<=n，即向量组1的秩小于等于向量组2的秩。
      为什么秩小于向量组个数会是线性相关呢?是不是因为秩小于向量组不是有无穷多组解吗?行列式为0呢 ?
      向量组的秩是向量组的一个极大无关组所含向量的个数
      当向量组的秩等于向量组所含向量个数时， 说明向量组本身就是其极大无关组， 即向量组线性无关
      否则(向量组的秩小于向量组所含向量个数时)向量组线性相关.
      也可以联系方程组解释
      向量组a1， 线性相关
      <=>
      x1a1+ = 0 有非零解
      <=>
      向量组a1，的秩小于 此时不宜用行列式解释， 因为向量组不一定构成方阵.
      矩阵的值小于n为什么是列向量线性无关，而不是行向量线性无关
      仅仅根据秩小于n无法判断列还是行向量线性无关，题目中一定还有其他条件
      为什么秩小于列数就线性相关?
      这个当秩小于向量组的向量个数时，就会产生一个变量，这个变量可以任意取值