Question

现代数学的三大显著特征

Answer 1

在《基本概念与运算法则》这本书中指出，现代数学的三大显著特征是符号化、公理化和形式化。如何理解这三个特征在现在数学中的地位，还得回到这三个特征为什么存在来思考。

符号化：大家都知道数学是抽象的，是研究从现实生活中抽象出来的数及数之间的关系，因此数学研究得到的模型必须具有普适性，是高度抽象和概括的，不能说适用于现实中关于鸡的问题，却不适用于鸭的问题。为了达到这样的目标，如果在研究数之间的关系时，需要比数量带上那就非常麻烦。比如我们常说一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，按这样的说法说一辈子也说不完，但数学的符号化很好的解决了这个问题，现在我们都知道a只青蛙a张嘴，2a只眼睛，4a条腿，而且这里的a、2a和4a的关系不因现实是青蛙还是兔子而发生改变。这只是一个比较简单的例子，因为这样的关系只能用于4条腿的动物，而我们都熟知的运算律却是完全使用与现实生活的，比如a+b=b+a，所以数学的符号化为更好的研究数之间的关系提供了可能，也为后面两个特征奠定了基础。

公理化：其实可以理解为大家学习的数学证明题，你会发现在证明某个命题时我们需要从正确的命题a得到正确的命题b，最后经历若干次这样的过程得到命题是否正确。在这个过程中你是否考虑过，每一个命题之所以正确都是由于它有一个前提，这个前提推出了它的正确，比如上面提到的命题b，为什么命题b是正确的？这是因为正确的命题a推出了命题b是正确的。那现在我们想一想命题a又为什么是正确的呢？哪个命题能证明呢？这样逐一倒退，最终我们会发现这是没有终点的，但如果没有终点我们就无法证明某个命题是否正确，而且也并不是所有的命题我们都能个找到前提来证明的，比如如果a=b且b=c，那么a=c，这个命题是没有办法找到前提来证明的。鉴于此，著名的数学家欧几里得提出了五个公理：1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和相等。3、等量减等量，其差相等。4、彼此能重合的物体是全等的。5、整体大于部分。正是因为有了这5条公理，我们才能够由他们出发，得到更多的关系，也因此建立了数学的公理化体系。

形式化：这里的形式化指的是论证方法的形式化，之前我们说到了数学的公理化，即我们可以通过证明的方法得到某些命题是否正确，但是这个证明的过程应该是怎样的，怎样写才能保证逻辑严密，同时又不冗余，因此亚里士多德提出了著名的“三段论”，即以一个一般性的原则（大前提）以及一个附属于一般性的原则的特殊化陈述（小前提），由此引申出一个符合一般性原则的特殊化陈述（结论）的过程。比如动物都有思想（大前提），人是动物（小前提），所以人有思想（结论）。这个过程现在看来好像是很正常的，但这一伟大的发明为人类思维方法的确立以及思维能力的提高奠定了坚实的基础。