向量空间
对于以向量为元素的集合 ，若对于向量集合 中的向量 和标量域 中的标量 ，以下两个闭合性和关于加法及乘法的 个定律均满足时，则称 为 向量空间 或 线性空间 ：
令 和 是两个向量空间，若 是 中一个非空子集合，则称子集合 是 的一个子空间。
令 和 分别是 和 的子空间，若映射 对 和任意标量 满足 叠加性 和 齐次性 ，则称 为 线性映射 或 线性变换 ：
也可以将叠加性和齐次性合并在一起写成线性关系式：
令 为向量空间，若对所有 和 ，映射函数 满足以下三条性质：
则称 为向量 与 的内积， 为 内积空间 。满足以上三个性质的实向量空间和复向量空间分别称为实内积向量空间和复内积向量空间。
令 为向量空间，向量 的范数为一实函数 ，若对所有向量 和任意一个标量 ，有下面性质成立：
则称 为赋范向量空间。
若 对所有向量 和任意一个标量 ，有以下条件成立：
则称 为向量 的 半范数 （也称为 伪范数 ）。
【注】半范数与范数的唯一区别在于：半范数不完全满足范数的非负性条件。
若 对所有向量 和任意一个标量 ，有以下条件成立：
则称 为向量 的 拟范数 。
【注】拟范数和范数的唯一区别在于：拟范数不满足范数的三角不等式。
令 为赋范向量空间，若对每一个 Cauchy 序列 ，在 都存在一个向量 ，使得 ，则称 为 Banach 空间 。
一个相对于范数完备的赋范向量空间 称为 Hilbert 空间。
