Question

线性变换

Answer 1

线性代数整个讲的其实都是求解线性变换。MIT的老师说线性变换其实应该放在第一章来讲 。

这篇文章是以二维坐标系为例，高维坐标系以此类推。

首先我们定义向量和坐标， 你可能会问这个我们中学就学过啦 ，不是耍我们吗。原因是我们平时说向量的时候实际上是默认用的标准坐标系。这个时候可以仔细想想是不是这样的。 比如给一个向量（2,3），我们立刻构思出啦这个向量在标准坐标系中的位置。但是想过没有要是坐标系不是标准坐标系呢，而是任意两个不相关的向量。

（v1,v2）我们把这个当成一个坐标系，那（2,3）就是这个坐标系中的点。当v1=（1,0）v2=（0，1）的时候，这个坐标系就是标准坐标系。但要是v1=（4,5）v2=（7,8）的时候那（2，3）所表述的含义是新的坐标系下面的点。这两个点在不同坐标系下的数值是一样的，但实际上他们的物理位置却完全不一样。这里有个细节，我们表示的V1，V2这个坐标系中的点实际上是默认相对于标准坐标来系的。

向量本身的定义首先是要定义在哪个坐标系下面的，要是没有定义坐标系，那向量本身的含义就不成立。

那么什么是线性变换呢？

线性变换就是通过一个变换把坐标系A 中的点变换成坐标系B中的点(需要强调的是Linear Transformation是在做坐标系中点的转换，这个地方非常的重要，并不是坐标系的转换)。为什么线性变换的定义是这样子的呢? 

我们以上面这个表达式为例

这个表达式左右两侧都得出啦一个向量，并且相等。向量要相等，必须以同一个参照坐标系为准。那么Ax得出的向量和By得出的结果是在同一个参照体系下面。这个参照系是标准坐标系。Ax最终得到的是标准坐标系下的向量。Ax同时可以看成 A的列的线性组合。A的列实际上是标准坐标系下面的两个向量。如果我把A的两个列当成一个新的坐标系，那么x就能看作是新的坐标系下面的一个点啦。

如果x=（2,3），那么（2,3）所表达的物理位置在新的坐标系下面和标准坐标系下面的位置是完全不一样的。

既然x是新的坐标系下面的点，A这个新的坐标系又是标准坐标系下面的向量，并且Ax的结果是标准坐标系下面的结果。所以Ax的实际含义是把新的坐标系下面的点用标准坐标系表示。之所以能达到这样的转化是因为这个A本身是由标准坐标系下面的向量来表示的。其实A完全可以表述成其他坐标系下的向量，不一定是标准坐标系（这个地方有点儿绕，需要好好想清楚）。

我们现在想要反过来，把A看成参照坐标系。 那么通过一个线性变换，把A变到标准坐标系，这个变换是Inv(A)。标准坐标系可以成是A坐标系通过Inv(A)线性变换得来的。这个时候我们可以把Inv(A)看成是一个想对于A的新的坐标系。这个新的坐标系是以A作为参考坐标系的。Inv(A)中的向量是以A为参考系的。但是同时我们可以把Inv(A)看成是一个新的坐标系。如果x是坐标系Inv(A)中的点，那么Inv(A)x描述的含义是把标准坐标系中的向量用A坐标系表示。这个有点儿绕，但是仔细想想就能明白。

提问 ： 标准坐标系下面的旋转90度，在新的坐标系下如何表示？

答案： 这个问题是在问标准坐标系中旋转90的线性变换矩阵在新的坐标系中如何表示。线性变换的含义是，把坐标系中的一个向量转换该坐标系中的另外一个向量。如果A表示标准坐标系中逆时针旋转90度。那么这个矩阵的表述方式是把任何在该坐标系中的向量旋转了90度。我们取两个向量（0,1),(1,0）作为标准坐标系下的两个向量，那么逆时针90读以后的向量变成了(0,1),(-1,0)  那么就是说A((0,1)(1,0)) = (0,1)(-1,0) 很明显 A=（0,1)(-1,0)。

实际上任何一个坐标系中的逆时针旋转90度都是把该坐标系中的(1,0),(0,1)这两个向量最后变成啦该坐标系下的另外两个向量， 另外两个向量在该坐标系下的表示就是旋转90度的线性变换 。 在A坐标系中我们通过一个线性变换把A坐标系中的点(1,0),(0,1)逆时针旋转90度得出的向量就是在A坐标系中的旋转90度的线性变换，但是结果压根儿就不是(0,1)(-1,0) 。标准坐标系中的逆时针结果是(0,1)(-1,0)，但在A中不是。这个地方有点儿绕，需要仔细看。假如说逆时针旋转90度得出的向量是(a1,a2)

那么T(1,0),(0,1)=(a1,a2)，我们只需要算出(a1,a2)的在新的坐标系中的位置就可以啦。

首先要做的是把A坐标系中的向量(1,0)(0,1)转换成标准坐标系中的向量A(1,0)(0,1)=A，接下来是旋转90度 (0,1)(-1,0) A得到标准坐标系中另外两个向量。我们只需要把旋转90读以后的两个向量表示成A坐标系中的两个向量就可以啦， Inv(A)(0,1)(-1,0)A。 这个结果就是把（1,0)(0,1)在新的坐标系中旋转90度的结果，也就是T。

Inv(A)MA 这个表达式真实的含义是线性变换M在标准坐标系中如何用坐标系A来表示。

特征值变换说的是

和Inv(A)MA长得很像。T=Inv(A)MA => M=ATInv(A)。M的表示方式和上面的特征值变换完全一样。

M是啥意思呢？Inv(A)MA表示的是线性变换M在A坐标系中的表示。那么M=ATInv(A)表示的就是A中的线性变换T在标准坐标系中的表示。假如T是特征值，A是特征向量组成的矩阵。那就说明TInv(A)表示的是将坐标系Inv(A)做的一个线性变换，InvA 是标准坐标系在A中的表示，这个线性变换是用A作为参考坐标系的。

提问： 坐标系A中的伸缩的线性变换怎么表示？ A中的伸缩变换在标准坐标系中又该如何表示？

答案:假如(1,0),(0,1)是A坐标系中的点。任何的伸缩变换都是只改变大小，不改变方向。那么(1,0)改变大小可能变成(a1,0),(0,1)变成(0,a2)，那么T(1,0)(0,1)=(a1,0)(0,a2)。T就等于(a1,0),(0,a2)那就是说伸缩变换的的表达在任何一个坐标系下面都是一样的。因为伸缩在标准坐标系下面也是(a1,0),(0,a2)。但是M = ATInv(A)说明A坐标系中的伸缩变换在标准坐标系下面压根儿不是伸缩变换。但是很显然啦，特征值变换实际上就是把A坐标系中的伸缩变成标准坐标系中的一个线性变换。 标准坐标系的线性变换M实际上是以特征向量为坐标系的伸缩变换。这个地方揭露啦一个非常重要的事实，坐标系选择不一样的时候，一个坐标系中的线性变换会变成另外一个坐标系中不一样的变换。

如果把特征向量作为新的Base的话，T（特征值矩阵）是伸缩变换，但是如果把特征值组成一个向量，那么这个向量就是A下面的向量，特征值的大小就是这个base下面各个axe的大小。特征值组成的向量就和标准坐标系的向量没多大差别啦。

提问 :标准坐标系的旋转90度，先新的坐标系中还是不是旋转90？

答案：标准坐标系旋转90度，旋转的操作应该是不管在哪个坐标系中都是旋转90度，只是表示方式不一样。

提问: 标准坐标系在中的伸缩变换，是否也是其他坐标系的伸缩变换？

答案：也是，只是表示方式不一样。但是其他坐标系的伸缩变换，可就不一定是标准坐标系下面的伸缩变换啦。特征值变换就是一个例子。标准坐标系中的一个线性变换在特征向量的坐标系中是一个伸缩。（前提是特征向量足够）