Question

一个各个数位都不相同的十位数，可以被11111整除，这样的数有多少个？

Answer 1

正确答案是9*8*6*4*2=3456
以下是具体的解题过程：
首先是审题，题目中abcdefghij不同的字母代表不同数字，也就是说可以替换成0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字，同时要排除特殊情况，就是a不能为0，因为最高位不能是0。

接着根据题意推出各个字母之间的关系，通过表达式表示
abcdefghij=abcde*100000+fghij
=abcde*（99999+1）+fghij
=abcde*99999+abcde+fghij
=abcde*11111*9+abcde+fghij
因为abcdefghij是能够被11111整除的，而推出的等式右边abcde*11111*9是一定能够被11111整除的，那么剩下的部分abcde+fghij也是能够被11111整除的。
接下来继续推导：
abcde+fghij=a*10000+b*1000+c*100+d*10+e+f*10000+g*1000+h*100+i*10+j
=(a+f)*10000+(b+g)*1000+(c+h)*100+(d+i)*10+(e+j)
=(a+f)*(9999+1)+(b+g)*(999+1)+(c+h)*(99+1)+(d+i)*(9+1)+(e+j)
=(a+f)*9999+(b+g)*999+(c+h)*99+(d+i)*9+(a+f+b+g+c+h+d+i+e+j)
等式右边a+f+b+g+c+h+d+i+e+j的和是0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
因为(a+f)*9999+(b+g)*999+(c+h)*99+(d+i)*9能够被9整除，而45也能被9整除，
那么(a+f)*9999+(b+g)*999+(c+h)*99+(d+i)*9+(a+f+b+g+c+h+d+i+e+j)也能被9整除，
也就是说abcde+fghij能被9整除，再加上之前能被11111整除，
同时因为9和11111互质，
那么abcde+fghij能被9*11111整除，也就是99999整除
又因为abcde+fghij的和可能是五位数，即没有相加进位时，这时候它们的和只能是99999，也有可能是六位数，出现相加进位，就有可能是99999*2=199998，
但是由于题目已经限定数字不重复，那abcde+fghij最大的可能是a和f都取最大值9和8，这时abcde+fghij的最大值还是依旧小于（9+1）*10000+（8+1）*10000=190000的
这样abcde+fghij的和就排除了199998，只能是99999了
根据abcde+fghij=99999，就可以得出a+f=9,b+g=9,c+h=9,d+i=9,e+j=9，
（这里可能会有人会疑惑，为什么它们的和只能是9，而不能是两位数，那是因为最大的两位数字9和8的和是17，即便是有加上进位的1，也不能得到19，让对应的位置出现9，更不用说其它的更小的数字了，所以它们的和只能是个位数。）
而和为9的不同数字有5组，分别为0和9,1和8,2和7,3和6,4和5，接下来就是做排列组合把数字填进去了
首先是a和f的取值，有a=9,f=0和a=8,f=1和a=7,f=2和a=6,f=3和a=5,f=4和a=4,f=5和a=3,f=6和a=2,f=7和a=1,f=8（注意a不能为0），共9种情况，
确定了a和f，接着就是b和g，由于用了1组数字，还剩下4组数字，同时可以颠倒顺序，所以有4*2=8种情况，
c和h，用了2组数字，还剩下3组数字，3*2=6种情况，
d和i，用了3组数字，还剩下2组数字，2*2=4种情况，
e和j，用了4组数字，还剩下1组数字，1*2=2种情况，
所以最终的答案就是9*8*6*4*2=3456种情况

Answer 2

1解题看下图。

。除法竖式

从图中除法结果得：f+a-e-（f+a-e）=0； g+b-e-（f+a-e）=0，g+b=f+a； h+c-e-（f+a-e）=0，h+c=f+a； i+d-e-（f+a-e）=0，i+d=f+a； j=f+a-e，即j+e=f+a。

则：f+a=g+b=h+c=i+d=j+e。

当f+a=0+9时，

g+b=1+8=h+c=2+7=i+d=3+6=j+e=4+5，

这个数就是9876501234。

因为，只要数字间满足g+b=h+c=i+d=f+a=e+j，这个十位数就能成立，所以，除a在1至9之间，不能为0外，其余每个数从0至9都有可能，因此，这个数至少有99个。

Answer 3

答案应该是5*4*3*2*1*2*2*2*2*2-4*3*2*1*2^4=3456.
十位数表示成abcdefghij=a*11111*10^5+(b-a)*11111*10^4+(c-b)*11111*10^3++(d-c)*11111*10^2+(e-d)*11111*10++(f-e)*11111+(a+f)*10^4+(b+g)*10^3+(c+h)*10^2+(d+i)*10^1+e+j
如果上述数能整除11111,那么余数为0.
得出：最后余数五位数必然是11111,22222等形式,也就是最后五位数相等.
这样的出结论,任何一个10位数如果能被11111整除,那么必须有如下特点：
a+f=b+g=c+h=d+i=e+j
如果这五组数各不相同而且从0-9,只能为09；18；27；36；45
排列组合为5*4*3*2*1,两个数字互换各2种可能再有2^5
除去0不能作为首位,减掉4*3*2*1*2^4种可能,因此答案为5*4*3*2*1*2^5--4*3*2*1*2^4=3456.
不知道对不对.