Question

线性空间

Answer 1

域的概念最初被 阿贝尔 和 伽罗瓦 用于他们对 方程 的可解性的工作上。

线性空间，谈到空间我们想到的是平面空间和三维立体空间，没错，它们就是线性空间。非线性空间我们一般都会感觉到不正常，比如在一些恐怖游戏中经常有传送门或异常的生物出现，这些都不是线性空间。
空间就是一个有着特殊定义的 集合（set） 。集合的定义我们在高一开始学数学就接触到了，这里就不详细介绍结合中的一些概念（集合的特点）和运算（交集，并集，补集等）了。好了，我们现在有一个集合，这个集合里有一些具有相同性质的元素。 这里的元素是任何东西，就是说是抽象的，不仅仅是数字。
我们现在根据这个集合 ，定义两种运算：

再举一个例子：有一个集合，这个集合里的所有元素都是 的在实数域 上的矩阵。矩阵的元素是抽象的，那个常数 或 是实数。定义 ，

那么我们生活的最熟悉的三维空间和二维空间也是线性空间。这里要证明的话需要用到几何学的知识。比如三角形法则和平行四边形法则等。

还有一些特殊的线性空间，比如有一个集合，这个集合里的所有元素是一个个多项式，这些多项式的次数（最高次）小于等于 ，加法和数量乘法就遵循我们初中学习的多项式运算法则即可，这也就构成了一个线性空间。

再比如，有一个集合，这个集合中所有的元素都是定义域为 的函数，那么加法和数量乘法遵循函数之间的运算，这也很容易证明它们构成了一个线性空间。

在线性代数里我们最烦恼的概念和一堆定理与线性相关（Linear Dependent）和线性无关（Linear Independent）相关。这里先从线性组合说起，线性这个词一般就与加法和数乘有关。
我们在域 上有 个向量 ，注意这里我们称这些向量叫向量集合（Vector set），接着我们从 上取 个数 ，做如下运算：

这样一运算就产生一个新的向量了，如果取遍所有的常数，我们就可以得到一堆向量，无数个向量，那么这些产生出的新的向量就构成了一个线性空间。比如我们任意从这些产生的向量中取出两个 ，我们发现 ，加法是封闭的，类似地，数量乘法也是封闭的，再证明那几条性质，就可以证明这是一个线性空间了。我们把这个过程叫做扩张（span）。

接下来就是大家熟悉的线性相关和线性无关的定义了，这里的向量是 抽象的 ，一再强调。
A set is said to be linearly independent if

holds only when . If there are also nontriviall solutions, i.e., not all are zero, then is linearly dependent .

好了，一个向量的集合可以张成一个空间，这个向量集合可以线性无关的，也可以是线性相关的，通俗讲就是这堆向量中是否有向量能用其他向量进行线性表示。

这里请大家想一个问题和过程，线性空间里有 无数个向量 ，而有限的向量可以通过线性组合扩张成线性空间，这是 有限个向量 。无限个到有限个，这就很伟大。我们欣赏下为什么直角坐标系被命名为笛卡尔坐标系。
这里借助Manim画个图：

几何空间（二维空间和三维空间）中，我们都知道基是相互垂直的，即

这个在高中数学中称为向量点乘，在线性代数里我们有内积（Inner Product）的概念。比如在一个 维欧几里得空间 上，有两个向量 ，那么它们的内积定义为：

这时候，如果内积为0，那么在几何学中就叫做垂直，在矩阵论中就叫做 正交（orthogonal） 。笛卡尔坐标系的基就是正交的。

接着，有了基之后，每个向量就可以用基进行线性组合，而组合的前面的系数是数，这是我们能够研究也是善于研究的东西，这个就叫做在这个线性空间 中，在这个基（坐标系） 下的向量 的坐标。有了坐标，以后的研究就是线性代数里东西了。

基(basis)，坐标系(coordinate system)，坐标(coordinate)，我们有了这些特征去描述线性空间和空间里的向量了。从具体到抽象，把你脑子里具体的笛卡尔坐标系抹除掉。

有一个 构成的矩阵空间，可以定一组基叫 ，就是在 个元素中，第 行，第 列是 ，其余都是 。那么维度很清晰了，就是 维，任何一个矩阵 。

再来看一个式子：

这是Fourier Series，叫傅立叶级数，就是将一个函数（具体条件就不说了）用一组基进行表示，那么这个空间的维度可以看得出是无穷维度的，基是

而且这组基两两正交，那么它们的内积可以定义为：

在其中任意取两个函数，它们按照如上的内积都是0，说明它们是正交的。

前面我们知道，线性空间是一个有着定义特殊运算和满足运算规律的集合，它是个集合，那么 线性子空间 也是个集合，这个集合是原来线性空间的集合的子集，只不过这个子集需要满足 加法 和 数乘 封闭，那么还需要满足线性空间的那几条性质吗？不需要了，因为它本身是从线性空间中取出来的子集，自然就是满足了，无需额外验证。

Theorem ：如果 是数域 上的线性空间 的子空间。那么他们的交集 也是线性空间 上的子空间。
Proof ：设 ，我们根据线性子空间的定义知道：

因为， 且 ，所以， ，同理 。书上还验证了 ，我个人觉得是没必要的，既然 已经是线性子空间了，所以 中一定包含 。到这里，已经基本证明完毕了。
在二维平面中，我们可以看出子空间中向量的终点构成了一条过原点的直线，而任意两条不重合的过原点的直线的交集就只有 了，而在三维空间中，平面的一般方程为 ，要想这个子集是 的子空间，就必须要平面过 点，即 。我们知道两个平面的焦点有无数个，构成了空间里的一条直线（这些都是直觉），这条直线也是三维空间的子空间。
Definition ：有两个线性空间 是数域 上的线性空间 的两个子空间，定义

称为子空间的 和（sum）
Theorem ：有两个线性空间 是数域 上的线性空间 的两个子空间，则 是 的子空间。
Proof ：（要证明 是子空间，那么就要证明其中的元素满足加法封闭和数乘封闭即可）
设 ，且 ， ，考察

因为 ，且 是线性子空间，所以设 ，同理，设 ，所以 。

同样地， 是子空间，根据性质 ，所以 。
综上，可知 也是线性空间 的线性子空间。

在抽象数学中，不要思考，一思考就会犯错误。

Theorem ：维度公式：有两个线性空间 是数域 上的线性空间 的两个子空间，有

Proof ：设