Question

直线截椭圆所得的弦长怎么算?

Answer 1

y=kx+b 截椭圆所得的弦长
请将直线化为参数方程:
y-b=k(x-0) 直线过(0,b)定点的参数方程:
k=tana 设k1=sin(arctana) k2=cos(arctana)
参数方程为:
x=0+k2t
y=b+k1t
其中t代表到直线上一点(x,y)到直线上一点(0,b)的距离(有方同性,是向量).
于是直线截y=f(x)的弦长就是两个交点到(0,b)的向量差,即|t1-t2|
将x=k2t y=b+k1t 代入x^2/a^2+y^2/d^2=1
可得到:k2^2t^2/a^2+(b^2+2k1tb+k1^2t^2)/d^2-1=0
(k2^2/a^2+b^2/k1^2/d^2)t^2+(2k1b)td^2+b^2/d^2-1=0
|t1-t2|^2=|t1+t2|^2-4t1t2下面如有数字,就相当容易,因为这是初中的韦达定理,没必要去死记.
总之|t1-t2|是弦长.
无论是其它什么图形,都可以用这种方法.