Question

已知b²+c²=a²+bc，2sin²B/2+2sin²C/2=1，求三角形ABC的形状。

Answer 1

要用到的一个公式：cos2a=cos²a-sin²a=1-sin²a-sin²a=1-2sin²a 所以 2sin²a=1-cos2a b²+c²=a²+bc 则b²+c²-a²=bc 根据余弦定理得到：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2 而0＜A＜180° 所以A=60° 由于A+B+C=180° 所以B+C=120° B=120°-C 而2sin²B/2+2sin²C/2=1 即1-cosB+1-cosC=1 所以cosB+cosC=1 即 cos(120°-C)+cosC=1 展开得到：cos120°cosC+sin120°sinC+cosC=1 所以 -1/2cosC+√3/2sinC+cosC=1 得到:1/2cosC+√3/2sinC+cosC=1 即cosC*cos60°+sin60°*sinC=1 得到：cos(C-60°)=1 所以C-60°=0 即C=60° 于是B=120°-60°=60° 综合得到：A=B=C=60° 所以△ABC为等边三角形。