Question

圆周率到底怎么算？

Answer 1

周率是数学上常用到的一个值....,约等于3.142592625.

（一） 公元前利用正多边形计算

公元前1650年，埃及人著的兰德纸草书中提出＝（4/3） 3=3.1604。但是对的第一次科学的尝试应归功于阿基米德。 阿基米德计算值是采用内接和外切正多边形的方法。数学上一般把它称为计算机的古典方法。

在公元前3世纪，古希腊的数学非常发达，为了使得数学计算简便，人们选一个以长度为直径的圆。这样圆的周长在任何内接正多边形的周长和任何外切正多边形的周长之间。这样就容易得到的上下界，因为计算内接和外切正多边形的财长比较简单。阿基米德也掌握了这一原理，他从内接和外切严六边形开始，按照这个方法逐次进行下去，就得出12、24、38、96边的内拉和外切正多边形的财长，他利用这一方法最后得到值在223/71,22/7之间，取值为3.14。这一方法和数值发表在他的论文集《圆的量度》中。

我国古代第一个把求圆周率近似值的方法提高到理论高度上来认识的是刘微。他独立地创造了" 割圆术" ，并系统而严密地用内接正多边形来求得圆周率的近似值，他从内接正六边形算起，计算到圆内接正192边形的面积，从而得出3.141024＜＜3.142704这一值，后来他沿着这一思路继续前进，一直算到圆内接正3072边形时，得到了＝3927/1250，的值为

3.14159。这是当时得到的最精确的取值。 南北朝时期，我国的大数学家祖冲之采用刘徽的割圆术，一直算到圆内接正24576边形，从而推得： 3.1415926＜＜3.1415927 这一成果记载在他的著作《缀术》中。可惜的是，这本书已经失传。为了应用方便，祖冲之对圆周率还给出了两个分数值355/113和22/7，前者称之为" 密率" ，后者称之为" 给率" 。其中" 密率"355/133是一个很有趣的数字，分母分子恰好是三个最小奇数的重复，既整齐美观、又便于记忆。355/113=3+4 2/(7 2+8 2) 也是很巧妙的组合。它与的实际值相对误差只有0.00000009 。

（二）连分数计算

用连分数计算的人不多，要多次展开。首创连分数的是一个叫盖托蒂的数学家。布朗开罗（1620-1684）得到的表达式为

这个式子源于下式

在一定范围内计算上式，先采用繁分数形式。

再计算

再由

可得

因为在展开式中取的项数有限，所以值没有超过3。

由上可见，计算量很大，是古人对计算感兴趣吗？对现在的年轻人来讲，这是枯燥无味的，古人也许因为娱乐或兴趣而高兴这么干下去。

（三）一些计算圆周率的经典的常用公式

1、1593年，韦达给出

这一不寻常的公式是的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出 值。

2、沃利斯1650年给出：

3、Machin 公式

这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin 公式每计算一项可以得到14位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。

还有很多类似于Machin 公式的反正切公式。在所有这些公式中，Machin 公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin 公式就力不从心了。

4、Ramanujan 公式

下面介绍的算法，在PC 机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform) 算法。FFT 可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。

1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper 用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。