Question

怎么证明直线垂直

Answer 1

　　直线垂直,课本是这样定义：当两条直线相交所成的四个角中,有一个是垂直时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.初中数学中几种常见的证明直线垂直的方法.
一、证明三角形的两个内角和为90°
已知在△ABC中,AD⊥BC于D,AD=BD,E是AD上一点,且DE=DC,延长BE交AC于F,求证：BF ⊥AC
证明：由AD⊥BC,得∠ADC=∠BDA=90° 又因为DC=DE,AD=BD 所以△ADC≌△BDF 所以∠1=∠4 又因为∠2=∠3（对顶角） 所以∠1+∠2=∠3+∠4=90° 所以BF⊥AC
二、证明三角形与直角三角形全等四边形ABCD为矩形,ABDE为等腰梯形,AE∥BD,求证：BE⊥DE
证明：因为ABCD为矩形,所以∠BAD=90° 因为ABDE为等腰梯等腰梯形 所以AB=ED,∠ABD=∠EDB 又因为△BD=DB 所以△EBD≌△ABD 所以∠BED=∠DAB=90° 即BE⊥DE
三、运用等腰三角形“三线合一”性质证明
1、四边形ABDC中,∠1=∠2,DA=DB,AC= AB,求证：DC⊥AC
证明：延长AC到E,使CE=AC,连DE 所以AC= AE 又AC= AB 所以AE=AB 又∠1=∠2,AD为公共边所以△ADB≌△ADE所以BD=DE又因为DA=DB,所以DA=DC又因为AC=CE,所以DC⊥AC
2、△ABC中,AD是角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证：AD⊥EF
证明：因为DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分△BAC所以DE=DF,∠1=∠2又因为AD=AD所以Rt△ADE≌Rt△ADF所以AE=AF,又因为∠1=∠2所以AD⊥EF
四、证明一个角所分两角的和是90°
已知AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线,P是BC边上的任一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,求证：DE⊥DF
证明：因为△ABC为等腰直角三角形,AD是BC上的中线 所以AD=CD= AB,∠1=∠C=45° 因为PE⊥AB,PF⊥AC,所以AEPF为矩形 所以AE=PF=CF 所以△ADE≌△CDF 所以∠2=∠4因为∠2+∠3=90°所以∠4+∠3=90°即DE⊥DF
五、用直角三角形的判定定理证明
已知梯形ABCD中,AD∥BC,M是CD的中点,MA=MB,求证：AB⊥BC
证明：延长AM与BC的延长线交于N 因为AD∥BC,所以∠1=∠N,∠2=∠D 又因为DM=CM,所以△ADM≌△NCM 所以AM=NM 又因为AM=BM,所以BM= AN 所以∠ABN=90°,即AB⊥BC
六、用菱形的对角线证明
已知□ABCD,AB=2BC,延长AD到E,延长DA到F,使DE=AD=AF,求证：BE⊥CF
证明：连GH,在□ABCD中,DC∥AB 又DE=DA,所以GE=GB,DG= CD 又因为AB=2BC=2AD,所以DG=GC=BC 同理：HB=BC,所以HBCG为菱形 所以CH⊥BG,即BE⊥CF
七、利用勾股定理逆定理证明
已知如图,AD⊥DC,垂足为D,若CD=1,AD=2,BD=4,求证：AB⊥AC
证明：因为AD⊥BC,所以△ACD,△ABD为直角三角形 所以AC= = = AB= = = 在△ABC中,AC + AB =5+20=25 BC =（1+4） =25 所以△ABC为直角三角形 即AB⊥AC
八、利用圆的有关性质证明
已知,四边形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC、BD的中点,求证：MN⊥BD
证明：因为∠ABC=∠ADC=90°所以∠ABC+∠ADC=180°所以四边形ABCD为圆内接四边形且AC为直径,M为圆心有因为N为BD的中点,所以MN⊥BD