Question

如图,已知抛物线y=-x^2+bx+c与一直线相交于A(-1,0)

Answer 1

如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1,0）,C（2,3）两点,与y轴交于点N．其
顶点为D
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3,m）,求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标；若不能,请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值．
分析：
（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；
（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′,当M（3,m）在直线DN′上时,MN+MD的值最小；
（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F（x,x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时,点F在点E下方,则F（x,x-1）,然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G,如图1．设Q（x,x+1）,则P（x,-x��+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x��+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-3/2（x-1/2）��+27/8,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,如图2．设Q（x,x+1）,则P（x,-x��+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=-3/2（x-1/2）��+27/8,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
（1）由抛物线y=-x��+bx+c过点A（-1,0）及C（2,3）得,
-1-b+c=0
-4+2b+c=3
解得,b=2,c=3
故抛物线为y=-x��+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（-1,0）及C（2,3）得
-k+n=0
2k+n=3
解得,k=1,n=1
故直线AC为y=x+1；
（2）如图1,作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′（6,3）,由（1）得D（1,4）,
故直线DN′的函数关系式为y=-1/5 x+21/5 ,
当M（3,m）在直线DN′上时,MN+MD的值最小,
则m=-1/5 ×3+21/5=18/5 ；
（3）由（1）、（2）得D（1,4）,B（1,2）,
∵点E在直线AC上,
设E（x,x+1）,
①如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,
则F（x,x+3）,
∵F在抛物线上,
∴x+3=-x��+2x+3,
解得,x=0或x=1（舍去）
∴E（0,1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时,点F在点E下方,
则F（x,x-1）
由F在抛物线上
∴x-1=-x��+2x+3
解得x=（1-√17）/2 或x=（1+√17）/2
∴E（（1-√17）/2,﹙3-√17﹚/2）或（﹙1+√17﹚/2 ,﹙3+√17﹚/2）
综上,满足条件的点E的坐标为（0,1）、（﹙1-√17﹚/2,﹙3-√17﹚/2）或（（1+√17）/2,﹙3+√17﹚/2）；
（4）方法一：
如图3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,
设Q（x,x+1）,则P（x,-x��+2x+3）
∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）
=-x��+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
=1/2 PQ��AG
=1/2（-x��+x+2）×3
=-3/2（x-1/2）��+27/8
∴面积的最大值为27/8．
方法二：
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,如图3,
设Q（x,x+1）,则P（x,-x��+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
=1/2（x+1）（-x��+2x+3）+1/2（-x��+2x+3+3）（2-x）-1/2×3×3
=-3/2 x��+3/2 x+3
=-3/2（x-1/2）��+27/8
∴△APC的面积的最大值为27/8．