Question

求 罗尔定理，柯西中值定理的证明，要证明谢谢

Answer 1

罗尔定理证明：

令f(x)=e^x-ex, 在【1，x】上用拉格朗日中值定理。 

则f(x)-f(0)=f'(u)(x-1), 1<u<x, 从而 e^x-ex-(e-e)=(e^u-e)(x-1)>0 (x>1)。

所以 e^x>ex。

柯西中值定理的证明：

因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

扩展资料：

柯西中值定理的一个最重要的应用就是可以推导计算待定型的极限最有效的方法——洛必达法则。

洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限。在满足一定条件下可以化成两个函数的导数的比值极限，这样就有可能使得原待定型变成简便而有效的求非待定型极限的问题。

我们得出下面这个定理（洛必达法则）：

⑴两个函数

 

和

 

在开区间

 

可微，并且在这个开区间上，

 

的导数不等于0；

⑵存在极限

 

（或

 

），其中A为一个有限的常数。则在以下情况下：

（或者

 

和

 

）。那么就有：

 

（或

 

）。在区间的另一个端点也存在相类似的结果。这个定理就称之为洛必达法则，能有效地应用于待定型的极限计算。

参考资料来源：百度百科--罗尔定理

参考资料来源：百度百科--柯西中值定理