Question

当x→0时，下面四个无穷小量中，阶数最高的是（　　）

Answer 1

解题思路：充分利用已知的等价无穷小和函数的幂级数展开式，将个四个选项的等价无穷小找出来，根据无穷小的阶数就可以选出答案．

①选项A．∵当x→0时，
1+sin2x−1～
1
2sin2x～
1
2x2
∴当x→0时，
1+sin2x−1的阶数为2；
②选项B．∵当x→0时，tanx-sinx=tanx（1-cosx）～
1
2x3
∴当x→0时，tanx-sinx的阶数是3．
③选项C．∵当x→0时，4x2+5x3-x5～4x2
∴当x→0时，4x2+5x3-x5的阶数是2
④选项D．∵当x→0时，e−2x2＝1+
−2x2
1!+
(−2x2)2
2!+o(x4)，cos2x＝1−
2x2
2!+
(2x)4
4!+o(x4)
∴e−2x2−cos2x＝
11
6x4+o(x4)
∴当x→0时，e−2x2−cos2x是4阶无穷小
故四个选项中，阶数最高的是D
故选：D．

点评：
本题考点： 高阶无穷小、低阶无穷小．

考点点评： 此题考查了等价无穷小的使用、常见函数的幂级数展开式和无穷小的阶数概念．这些是基础知识点．