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解题思路:充分利用已知的等价无穷小和函数的幂级数展开式,将个四个选项的等价无穷小找出来,根据无穷小的阶数就可以选出答案.
①选项A.∵当x→0时,
1+sin2x−1~
1
2sin2x~
1
2x2
∴当x→0时,
1+sin2x−1的阶数为2;
②选项B.∵当x→0时,tanx-sinx=tanx(1-cosx)~
1
2x3
∴当x→0时,tanx-sinx的阶数是3.
③选项C.∵当x→0时,4x2+5x3-x5~4x2
∴当x→0时,4x2+5x3-x5的阶数是2
④选项D.∵当x→0时,e−2x2=1+
−2x2
1!+
(−2x2)2
2!+o(x4),cos2x=1−
2x2
2!+
(2x)4
4!+o(x4)
∴e−2x2−cos2x=
11
6x4+o(x4)
∴当x→0时,e−2x2−cos2x是4阶无穷小
故四个选项中,阶数最高的是D
故选:D.
点评:
本题考点: 高阶无穷小、低阶无穷小.
考点点评: 此题考查了等价无穷小的使用、常见函数的幂级数展开式和无穷小的阶数概念.这些是基础知识点.
①选项A.∵当x→0时,
1+sin2x−1~
1
2sin2x~
1
2x2
∴当x→0时,
1+sin2x−1的阶数为2;
②选项B.∵当x→0时,tanx-sinx=tanx(1-cosx)~
1
2x3
∴当x→0时,tanx-sinx的阶数是3.
③选项C.∵当x→0时,4x2+5x3-x5~4x2
∴当x→0时,4x2+5x3-x5的阶数是2
④选项D.∵当x→0时,e−2x2=1+
−2x2
1!+
(−2x2)2
2!+o(x4),cos2x=1−
2x2
2!+
(2x)4
4!+o(x4)
∴e−2x2−cos2x=
11
6x4+o(x4)
∴当x→0时,e−2x2−cos2x是4阶无穷小
故四个选项中,阶数最高的是D
故选:D.
点评:
本题考点: 高阶无穷小、低阶无穷小.
考点点评: 此题考查了等价无穷小的使用、常见函数的幂级数展开式和无穷小的阶数概念.这些是基础知识点.
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