Question

如何证明n阶矩阵A相似于对角阵？

Answer 1

定理：n阶矩阵A相似于对角阵的充分必要条件是对于k重特征根λ有r(λE-A)=n-k。本题n=3，k=2，所以r(-E-A)=3-2=1。

如果r(λE-A)=1

那么λ对应的特征向量有3-1=2个

而另一个特征值

当然对应1个特征向量

于是有三个特征向量

所以A相似于对角矩阵

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。

说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵。