Question

设∫e^xf(e^x)dx=1/(1+e^2x)+c,则∫e^2xf(e^x)dx=?

Answer 1

[1/(1+e^(2x))+c]'=-1/(1+e^(2x))^2*2e^(2x)=2e^(2x)/(1+e^(2x))^2
因此：e^xf(e^x)=2e^(2x)/(1+e^(2x)))^2
则两边同时乘以e^x得：e^(2x)f(e^x)=2e^(3x)/(1+e^(2x)))^2
则 ∫e^2xf(e^x)dx
=2∫e^(3x)/(1+e^(2x))^2dx
=2∫e^(2x)/(1+e^(2x))^2d(e^x)
令e^x=t,
=2∫ t^2/(1+t^2)^2dt
令t=tanu,dt=(secu)^2du,1+t^2=(secu)^2
=2∫ (tanu)^2/(secu)^4 * (secu)^2du
=2∫ (tanu)^2/(secu)^2 du
=2∫ (sinu)^2 du
=∫ (1-cou2u) du
=u-1/2sin2u+C
=u-sinucosu+C
=arctant-t/(1+t^2)+C
最后将 t 换回e^x即可.