高二期末数学试题
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高二数学试题（理科）
(考试时间：120分钟 总分：160分)
命题人：朱占奎 张圣官 展国培 张敏
审题人：丁凤桂 石志群
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 参考公式：数学期望：E(x)?
方差：V(x)??[x?E(x)]?xp，
ii
i
i?1
i?1
n
n
2
pi??xi2pi?[E(x)]2
i?1
n
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．复平面内，复数z?1?i所对应的点在第 2．命题“?x?R，使得2sinx?1成立”的否定是．
23．已知?1?2x??a0?a1x?a2x?
10
?a10x10，则a0?a1?a2?a3??a01?
4．写出命题“若abc?0，则b?0”的逆否命题：．
5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲、乙相邻的不同排法种数是．（用数字作答）
6．若复数z满足z?1?i?1，则复数z的模的值是．
7．命题：若x12?y12?1，则过点?x1,y1?的直线与圆x?y?1有两个公共点．将此命题
2
2
类比到椭圆x?2y?1中，得到一个正确命题是 ▲ ．
8．某人每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击10次，设击中目标的次数为X， 则E?X?= ▲ ．
9．已知：1?1;1?2??1;1?2?3?2;1?2?3?4??2;1?2?3?4?5?3;请写出第100个等式： ▲ ．
，按此规律
22
2?i201510．已知复数z1??1?i??2i?1?和复数z2?m?，当m为 ▲ 时，z1?z2．
1?i
x?13
11．已知4C17，则x?． ?17C16
11111n?1
12．在用数学归纳法证明“对一切大于2的正整数n，?????n?”
246824
的过程中，从n?k到n?k?1时，左边增加的项数为 ▲ ．
13．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，
其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，
则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有 ▲ 种．（用数字作答）
nn?1n?2
14．已知?x?a??m1x?m2x?m3x?
n
?mnx?mn?1，其中n?N*,a为常数．则
下列所有正确命题的序号是 ▲ ． ⑴“m1,m2,m3,
； ,mn?1中存在负数”的一个充分条件是“a??1”
⑵若n?5，则“1?a?2”是“m4为m1,m2,m3,条件；
,m6中的一个”的必要不充分
⑶若n?5，则“不等式m1?m2,m2?m3,m3?m4,m4?m5,m5?m6中恰有3个成立”的充要条件是“1?a?2”；
⑷若a?0，则“n是4的倍数”是“m1?m2?m3
mn?1?0”的充分不必要条件．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分） 已知圆C：x?y?1在矩阵M??⑴求曲线C1的方程；
⑵求逆矩阵M；
⑶求矩阵M的特征值和特征向量． 16．（本题满分14分） 已知直线l过点P?4,0?，且倾斜角为⑴求直线l的极坐标方程；
?1
22
?20?
?所对应的变换作用下变为曲线C1． 01??
3π
． 4
12?x?t??8
⑵求直线l被曲线C:?（t为参数）截得的弦长．
?y?1t??2
17．（本题满分14分）
一个盒子内装有形状和大小完全相同的3个红球和n个白球，事件“从中取出两个球，恰好有一个红球”发生的概率为p． ⑴若p?
4， 7
①求从盒子内取出3个球中至少有一个红球的概率；
②设X为取出的4个球中红球的个数，求X的数学期望E?X?和方差V?X?． ⑵求证：p?
3； 5
18．（本题满分16分）
a2
和g?x??x?2ax?2． x
⑴命题p:?x??2,???，f?x??2恒成立；命题q:函数g?x?在?2,???上单调递增．若p和q都是真命题，求实数a的取值范围；
已知函数f?x??x?⑵设F?x???
??f?x?,x?2
，若对?x1??2,???，总存在x2????,2?，使得
??g?x?,x?2
F?xF?2?x成立，求实数a的取值范围． 1??
19．（本题满分16分） 设集合A,An,1,A2,A3,
中元素的个数分别为1,2,3,,n,
．现从集合
An,An?1,An?2,An?3中各取一个元素，记不同取法种数为f(n)． ⑴求f(1)；
⑵是否存在常数a,b，使得f(1)?f(2)??f(n)?a(n?2)5?(n?2)3?b(n?2)对任
*
意n?N总成立？若存在，请求出a,b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理
由． 20．（本题满分16分）
已知等差数列{an}的公差为d，且(a1x?d)5的展开式中x与x的系数之比为2． a3?5，⑴求(a1x?a2)6的展开式中二项式系数的项； ⑵设[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?
2
3
?b2n(x?2)2n，n?N*，求
a1b1?a2b2??a2nb2n；
an?1
⑶当n?2时，求证：(an?1)
?11?16n?8n4．
2014～2015学年度第二学期期末联考
高二数学试题（理科）参考答案
1．四 2．?x?R，2sinx?1总成立 3．1 4．若b?0，则abc?0
1
2222
7．若x1?2y1?1，则过点?x1,y1?的直线与椭圆x?2y?1有两个公共点 8．8 9．1?2?3?4??99?100??50
k?1
10．?4 11．5或14 12．2 13．930 14．⑴⑶⑷
?,y0?)，则 15．解：⑴设P(x0,y0)为圆C上的任意一点，在伸压变换下变为另一点P?(x0
5．12 6．
???20??x0??x0
?y????01??y?，
??0??0??x????2x0?x0?x0?0
即?，所以，?2
??y0?y0???y0?y0
?2x0
?2?1． ?y0又因为点P在曲线x?y?1上，所以x?y?1，故有4x222
?y2?1．…………4分 即圆C：x?y?1在矩阵M对应的伸压变换下变为椭圆：4
?xy??20??xy??10?
⑵设矩阵M的逆矩阵为??，则?01??zw???01?，
zw????????
1?x??2
?2x2y??10??y?0即? ???01?，故?zw?????z?0
?
?w?1?1?
0?1
?． …………8分 从而所求的逆矩阵M??2?01???
??20
⑶矩阵M的特征多项式为f(?)??(??2)(??1)，
0??1
令f(?)?0，解得矩阵M的特征值?1?2，?2?1． …………10分
?(??2)x?0?y?0
将?1?2代入二元一次方程组?
?0?x?(??1)y?0
解得y?0，x可以为任何非零实数，不妨记x?k,k?R，且k?0．
?1?
于是，矩阵M的属于特征值2的一个特征向量为??． …………12分
?0?
?(??2)x?0?y?0
将?2?1代入二元一次方程组?
?0?x?(??1)y?0
解得x?0，y可以为任何非零实数，不妨记y?m,m?R，且m?0．
?0?
于是，矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为??．
?1?
?1??20?
??2??1因此，矩阵M??的特征值为，，分别对应的一个特征向量是，12???
?0??01?
2
2
2
020
?0?
?1?． …………14分 ??
16．解：⑴设直线l上任意一点为Q(?,?)， 如图，在?POQ中，由正弦定理得
OQOP
?
sin?OPQsin?OQP
3?4??)?22．，即?sin(34sin??；3???)?22．…………7分所以，直线的极坐标；12⑵应用代入消元法，得x?(2y)，8；因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲线是抛；直线l的普通标方程是x?y?4；设直线l与曲线的交点记作A(x1,y1),B(x；?x?y?4?y1?2?y2??4；AB?(8?2)2?(?4?2)2?62；所以，直
--------------------------------------------------------------------------------
3?4??)?22． ，即?sin(34sin??)44
3???)?22． …………7分 所以，直线的极坐标方程是?sin(4
12⑵应用代入消元法，得x?(2y)， 8
因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲线是抛物线．
直线l的普通标方程是x?y?4
设直线l与曲线的交点记作A(x1,y1),B(x2,y2)， 于是???y2?2x?x1?2?x2?8联立成方程组，得?，?或?，
?x?y?4?y1?2?y2??4
AB?(8?2)2?(?4?2)2?62
所以，直线l被曲线截得的弦长为62． …………14分
17．解⑴记“从中取出两个球，恰好有一个红球”为事件A
113C3C6n4P(A)?2n?2?，(n?4)(2n?3)?0，解得n?4或n?（舍） 2Cn?3n?5n?67
故n?4． …………2分
①事件“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”是事件“从盒子中取出3个球都是白球”的对立事件，记“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”为事件B，则记“从盒子中取出3个球都是白球”为B．
3C44P(B)?3?， C735
31． 35
31答：从盒子中取出3个球中至少有一个红球的概率为． …………6分 35
②用随机变量X为取出的4个球中红球的个数，则X服从超几何分布H(4,3,7)． 随机变量X的可能值有4种，它的取值集合是?0,1,2,3?． 根据对立事件的概率公式P(B)?1?P(B)，得P(B)?
4C41 P(X?0)?4?C735
13C3C412P(X?1)?? 435C7
2C32C418 P(X?2)??435C7
6
31C3C44 P(X?3)??435C7
随机变量X
1?1??2??3???． 从而E(X)?0?35353535357
n11218412V(X)??xi2pi??2,(??E(X))?02??12??22??32??()2 353535357i?1
2414424???． 49749
1224答：随机变量X的数学期望为，方差为 …………10分 749
11C3Cn3n6n6???⑵证法一：P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n
63?记f(n)?n?,n?N当n=2或3时取最小值为5，P?． …………14分 n5
证法二：反证法． 36n3?，即n2?5n?6?0，解得2?n?3 ，即25n?5n?65
33*因为n?N，所以不存在正整数n，满足P?．因此，P?． …………14分 55假设P?
18．⑴命题p:不等式x?
2a?2在?2,???上恒成立， x即a??x?2x在?2,???上恒成立，
即a??(x?1)?1在?2,???上恒成立， 2
即a?0． …………2分 命题q:函数g?x??x?2ax?2在?2,???上单调递增 2
即a?2．
若p和q都是真命题，则0?a?2．
所以，实数a的取值范围是?0,2?． …………4分
a在x??2,???上的值域记作集合M， x
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域记作集合N，
由题意可得，M?N． ⑵f(x)?x?
7
（ⅰ）当a?0时，满足M?N， …………5分 （ⅱ）当a?0或0?a?2时，x??2,???f?(x)?0， a在x??2,???上单调递增， x
?a?集合M???2,???， ?2?
g?x??x2?2ax?2在???,a?上单调递减，在?a,2?上单调递增， 则f(x)?x?
集合N??a2?2,??， ??
a1?2，即a?0或a?? 22
1又a?0或0?a?2，所以a??或0?a?2． …………8分 2
（ⅲ）当2?a?4时，x??2,???时f?(x)?0， a?a?则f(x)?x?在x??2,???上单调递增，集合M???2,???， x?2?
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减，集合N??6?4a,???， 因为M?N，所以?a?2?2
4??2?a?a因为M?N，所以?即2?a?4． …………12分 6?4a??2?2?
（ⅳ）当a
?4时，x??时f
?(x)?0，x???时f?(x)?0 ??
则f
(x)的单调减区间是?，单调增区间是??，集合M????， ?
?
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减，集合N??6?4a,???， ??
因为M?N，所以?
综上，a??a?4?即a?4． ?6?4a?2a1或a?0． …………16分 2
19．解：⑴从A1中取一个元素，有1种取法；从A2中取一个元素，有2种取法，依次类推，不同取法种数为4!?24 …………4分 ⑵f(n)?n(n?1)(n?2)(n?3)
1?a?????f(1)?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f(1)?f(2)?a?4?4?4b?b??5?53
用数学归纳法证明如下：
①当n?1时，左边?f(1)?24，右边?1534?3?3??3?24 55
8
左边?右边，所以当n?1时命题成立； …………9分 ②假设当n?k时命题成立，即
14?f(k)?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)， 55
则当n?k?1时，f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)
14?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4) 55
1?(k?2)[(k?2)4?5(k?2)2?4?5(k?1)(k?3)(k?4)] 5
1?(k?2){[(k?2)4?1][(k?2)4?4]?5(k?1)(k?3)(k?4)} 5
1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
141(k?3)5?(k?3)3?(k?3)?(k?3)[(k?3)4?5(k?3)2?4]555
1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
1所以f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
从而当n?k?1时，命题也成立． f(1)?f(2)?
综上可知，原命题成立． …………16分
323220．解：(a1x?d)5的展开式中含x的项为C5a1dx?10a12d3x2，含x的项为23
10a12d3d??2，得d?2a1，又a1?2d?5， Cadx?10adx，所以3210a1da12351233123
解得a1?1,d?2，所以an?2n?1(n?N*) …………4分 ⑴a1?1,a2?3，(a1x?a2)6?(x?3)6，
则(x?3)的展开式中二项式系数的项为T4?C6x(?3)??540x；…………6分 ⑵a1?1,a3?5，则[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?(x2?4x?5)n?[(x?2)2?1]n
01?Cn[(x?2)2]0?Cn[(x?2)2]1?
01?Cn(x?2)0?Cn(x?2)2?n?1n?Cn[(x?2)2]n?1?Cn[(x?2)2]n
n?1n?Cn(x?2)2n?2?Cn(x?2)2n 63333
?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?
∴b1?b3?b5?
∴a1b1?a2b2?
12?b2n(x?2)2n 01n …………8分 ?b2n?1?0，b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?(4n?1)Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7Cn?11Cn?
0123n ?(4n?1)Cn3n?(4n?1)Cn]?1 则S?[(?1)Cn?3Cn?7Cn?11Cn?
9
nn?1S?[(4n?1)Cn?(4n?5)Cn?
012∴2S?(4n?2)(Cn?Cn?Cn?0?(?1)Cn]?1
n?Cn)?2
∴S?(2n?1)?2n?1 …………11分 ⑶(an?1)an?1?(2n?1)2n?1
2n?122n?C2n?1(2n)?C2n?1(2n)?1 12n22n?1?(2n)2n?1?C2?C2?n?1(2n)n?1(2n)
∵n?2
∴2n?4
∴(aan?1n?1)??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22
5?42n?C2
52n?1(2n) ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4
2?11?16n?8n4
10 16分 …………
(考试时间：120分钟 总分：160分)
命题人：朱占奎 张圣官 展国培 张敏
审题人：丁凤桂 石志群
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 参考公式：数学期望：E(x)?
方差：V(x)??[x?E(x)]?xp，
ii
i
i?1
i?1
n
n
2
pi??xi2pi?[E(x)]2
i?1
n
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．复平面内，复数z?1?i所对应的点在第 2．命题“?x?R，使得2sinx?1成立”的否定是．
23．已知?1?2x??a0?a1x?a2x?
10
?a10x10，则a0?a1?a2?a3??a01?
4．写出命题“若abc?0，则b?0”的逆否命题：．
5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲、乙相邻的不同排法种数是．（用数字作答）
6．若复数z满足z?1?i?1，则复数z的模的值是．
7．命题：若x12?y12?1，则过点?x1,y1?的直线与圆x?y?1有两个公共点．将此命题
2
2
类比到椭圆x?2y?1中，得到一个正确命题是 ▲ ．
8．某人每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击10次，设击中目标的次数为X， 则E?X?= ▲ ．
9．已知：1?1;1?2??1;1?2?3?2;1?2?3?4??2;1?2?3?4?5?3;请写出第100个等式： ▲ ．
，按此规律
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2?i201510．已知复数z1??1?i??2i?1?和复数z2?m?，当m为 ▲ 时，z1?z2．
1?i
x?13
11．已知4C17，则x?． ?17C16
11111n?1
12．在用数学归纳法证明“对一切大于2的正整数n，?????n?”
246824
的过程中，从n?k到n?k?1时，左边增加的项数为 ▲ ．
13．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，
其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，
则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有 ▲ 种．（用数字作答）
nn?1n?2
14．已知?x?a??m1x?m2x?m3x?
n
?mnx?mn?1，其中n?N*,a为常数．则
下列所有正确命题的序号是 ▲ ． ⑴“m1,m2,m3,
； ,mn?1中存在负数”的一个充分条件是“a??1”
⑵若n?5，则“1?a?2”是“m4为m1,m2,m3,条件；
,m6中的一个”的必要不充分
⑶若n?5，则“不等式m1?m2,m2?m3,m3?m4,m4?m5,m5?m6中恰有3个成立”的充要条件是“1?a?2”；
⑷若a?0，则“n是4的倍数”是“m1?m2?m3
mn?1?0”的充分不必要条件．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分） 已知圆C：x?y?1在矩阵M??⑴求曲线C1的方程；
⑵求逆矩阵M；
⑶求矩阵M的特征值和特征向量． 16．（本题满分14分） 已知直线l过点P?4,0?，且倾斜角为⑴求直线l的极坐标方程；
?1
22
?20?
?所对应的变换作用下变为曲线C1． 01??
3π
． 4
12?x?t??8
⑵求直线l被曲线C:?（t为参数）截得的弦长．
?y?1t??2
17．（本题满分14分）
一个盒子内装有形状和大小完全相同的3个红球和n个白球，事件“从中取出两个球，恰好有一个红球”发生的概率为p． ⑴若p?
4， 7
①求从盒子内取出3个球中至少有一个红球的概率；
②设X为取出的4个球中红球的个数，求X的数学期望E?X?和方差V?X?． ⑵求证：p?
3； 5
18．（本题满分16分）
a2
和g?x??x?2ax?2． x
⑴命题p:?x??2,???，f?x??2恒成立；命题q:函数g?x?在?2,???上单调递增．若p和q都是真命题，求实数a的取值范围；
已知函数f?x??x?⑵设F?x???
??f?x?,x?2
，若对?x1??2,???，总存在x2????,2?，使得
??g?x?,x?2
F?xF?2?x成立，求实数a的取值范围． 1??
19．（本题满分16分） 设集合A,An,1,A2,A3,
中元素的个数分别为1,2,3,,n,
．现从集合
An,An?1,An?2,An?3中各取一个元素，记不同取法种数为f(n)． ⑴求f(1)；
⑵是否存在常数a,b，使得f(1)?f(2)??f(n)?a(n?2)5?(n?2)3?b(n?2)对任
*
意n?N总成立？若存在，请求出a,b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理
由． 20．（本题满分16分）
已知等差数列{an}的公差为d，且(a1x?d)5的展开式中x与x的系数之比为2． a3?5，⑴求(a1x?a2)6的展开式中二项式系数的项； ⑵设[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?
2
3
?b2n(x?2)2n，n?N*，求
a1b1?a2b2??a2nb2n；
an?1
⑶当n?2时，求证：(an?1)
?11?16n?8n4．
2014～2015学年度第二学期期末联考
高二数学试题（理科）参考答案
1．四 2．?x?R，2sinx?1总成立 3．1 4．若b?0，则abc?0
1
2222
7．若x1?2y1?1，则过点?x1,y1?的直线与椭圆x?2y?1有两个公共点 8．8 9．1?2?3?4??99?100??50
k?1
10．?4 11．5或14 12．2 13．930 14．⑴⑶⑷
?,y0?)，则 15．解：⑴设P(x0,y0)为圆C上的任意一点，在伸压变换下变为另一点P?(x0
5．12 6．
???20??x0??x0
?y????01??y?，
??0??0??x????2x0?x0?x0?0
即?，所以，?2
??y0?y0???y0?y0
?2x0
?2?1． ?y0又因为点P在曲线x?y?1上，所以x?y?1，故有4x222
?y2?1．…………4分 即圆C：x?y?1在矩阵M对应的伸压变换下变为椭圆：4
?xy??20??xy??10?
⑵设矩阵M的逆矩阵为??，则?01??zw???01?，
zw????????
1?x??2
?2x2y??10??y?0即? ???01?，故?zw?????z?0
?
?w?1?1?
0?1
?． …………8分 从而所求的逆矩阵M??2?01???
??20
⑶矩阵M的特征多项式为f(?)??(??2)(??1)，
0??1
令f(?)?0，解得矩阵M的特征值?1?2，?2?1． …………10分
?(??2)x?0?y?0
将?1?2代入二元一次方程组?
?0?x?(??1)y?0
解得y?0，x可以为任何非零实数，不妨记x?k,k?R，且k?0．
?1?
于是，矩阵M的属于特征值2的一个特征向量为??． …………12分
?0?
?(??2)x?0?y?0
将?2?1代入二元一次方程组?
?0?x?(??1)y?0
解得x?0，y可以为任何非零实数，不妨记y?m,m?R，且m?0．
?0?
于是，矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为??．
?1?
?1??20?
??2??1因此，矩阵M??的特征值为，，分别对应的一个特征向量是，12???
?0??01?
2
2
2
020
?0?
?1?． …………14分 ??
16．解：⑴设直线l上任意一点为Q(?,?)， 如图，在?POQ中，由正弦定理得
OQOP
?
sin?OPQsin?OQP
3?4??)?22．，即?sin(34sin??；3???)?22．…………7分所以，直线的极坐标；12⑵应用代入消元法，得x?(2y)，8；因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲线是抛；直线l的普通标方程是x?y?4；设直线l与曲线的交点记作A(x1,y1),B(x；?x?y?4?y1?2?y2??4；AB?(8?2)2?(?4?2)2?62；所以，直
--------------------------------------------------------------------------------
3?4??)?22． ，即?sin(34sin??)44
3???)?22． …………7分 所以，直线的极坐标方程是?sin(4
12⑵应用代入消元法，得x?(2y)， 8
因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲线是抛物线．
直线l的普通标方程是x?y?4
设直线l与曲线的交点记作A(x1,y1),B(x2,y2)， 于是???y2?2x?x1?2?x2?8联立成方程组，得?，?或?，
?x?y?4?y1?2?y2??4
AB?(8?2)2?(?4?2)2?62
所以，直线l被曲线截得的弦长为62． …………14分
17．解⑴记“从中取出两个球，恰好有一个红球”为事件A
113C3C6n4P(A)?2n?2?，(n?4)(2n?3)?0，解得n?4或n?（舍） 2Cn?3n?5n?67
故n?4． …………2分
①事件“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”是事件“从盒子中取出3个球都是白球”的对立事件，记“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”为事件B，则记“从盒子中取出3个球都是白球”为B．
3C44P(B)?3?， C735
31． 35
31答：从盒子中取出3个球中至少有一个红球的概率为． …………6分 35
②用随机变量X为取出的4个球中红球的个数，则X服从超几何分布H(4,3,7)． 随机变量X的可能值有4种，它的取值集合是?0,1,2,3?． 根据对立事件的概率公式P(B)?1?P(B)，得P(B)?
4C41 P(X?0)?4?C735
13C3C412P(X?1)?? 435C7
2C32C418 P(X?2)??435C7
6
31C3C44 P(X?3)??435C7
随机变量X
1?1??2??3???． 从而E(X)?0?35353535357
n11218412V(X)??xi2pi??2,(??E(X))?02??12??22??32??()2 353535357i?1
2414424???． 49749
1224答：随机变量X的数学期望为，方差为 …………10分 749
11C3Cn3n6n6???⑵证法一：P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n
63?记f(n)?n?,n?N当n=2或3时取最小值为5，P?． …………14分 n5
证法二：反证法． 36n3?，即n2?5n?6?0，解得2?n?3 ，即25n?5n?65
33*因为n?N，所以不存在正整数n，满足P?．因此，P?． …………14分 55假设P?
18．⑴命题p:不等式x?
2a?2在?2,???上恒成立， x即a??x?2x在?2,???上恒成立，
即a??(x?1)?1在?2,???上恒成立， 2
即a?0． …………2分 命题q:函数g?x??x?2ax?2在?2,???上单调递增 2
即a?2．
若p和q都是真命题，则0?a?2．
所以，实数a的取值范围是?0,2?． …………4分
a在x??2,???上的值域记作集合M， x
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域记作集合N，
由题意可得，M?N． ⑵f(x)?x?
7
（ⅰ）当a?0时，满足M?N， …………5分 （ⅱ）当a?0或0?a?2时，x??2,???f?(x)?0， a在x??2,???上单调递增， x
?a?集合M???2,???， ?2?
g?x??x2?2ax?2在???,a?上单调递减，在?a,2?上单调递增， 则f(x)?x?
集合N??a2?2,??， ??
a1?2，即a?0或a?? 22
1又a?0或0?a?2，所以a??或0?a?2． …………8分 2
（ⅲ）当2?a?4时，x??2,???时f?(x)?0， a?a?则f(x)?x?在x??2,???上单调递增，集合M???2,???， x?2?
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减，集合N??6?4a,???， 因为M?N，所以?a?2?2
4??2?a?a因为M?N，所以?即2?a?4． …………12分 6?4a??2?2?
（ⅳ）当a
?4时，x??时f
?(x)?0，x???时f?(x)?0 ??
则f
(x)的单调减区间是?，单调增区间是??，集合M????， ?
?
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减，集合N??6?4a,???， ??
因为M?N，所以?
综上，a??a?4?即a?4． ?6?4a?2a1或a?0． …………16分 2
19．解：⑴从A1中取一个元素，有1种取法；从A2中取一个元素，有2种取法，依次类推，不同取法种数为4!?24 …………4分 ⑵f(n)?n(n?1)(n?2)(n?3)
1?a?????f(1)?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f(1)?f(2)?a?4?4?4b?b??5?53
用数学归纳法证明如下：
①当n?1时，左边?f(1)?24，右边?1534?3?3??3?24 55
8
左边?右边，所以当n?1时命题成立； …………9分 ②假设当n?k时命题成立，即
14?f(k)?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)， 55
则当n?k?1时，f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)
14?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4) 55
1?(k?2)[(k?2)4?5(k?2)2?4?5(k?1)(k?3)(k?4)] 5
1?(k?2){[(k?2)4?1][(k?2)4?4]?5(k?1)(k?3)(k?4)} 5
1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
141(k?3)5?(k?3)3?(k?3)?(k?3)[(k?3)4?5(k?3)2?4]555
1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
1所以f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
从而当n?k?1时，命题也成立． f(1)?f(2)?
综上可知，原命题成立． …………16分
323220．解：(a1x?d)5的展开式中含x的项为C5a1dx?10a12d3x2，含x的项为23
10a12d3d??2，得d?2a1，又a1?2d?5， Cadx?10adx，所以3210a1da12351233123
解得a1?1,d?2，所以an?2n?1(n?N*) …………4分 ⑴a1?1,a2?3，(a1x?a2)6?(x?3)6，
则(x?3)的展开式中二项式系数的项为T4?C6x(?3)??540x；…………6分 ⑵a1?1,a3?5，则[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?(x2?4x?5)n?[(x?2)2?1]n
01?Cn[(x?2)2]0?Cn[(x?2)2]1?
01?Cn(x?2)0?Cn(x?2)2?n?1n?Cn[(x?2)2]n?1?Cn[(x?2)2]n
n?1n?Cn(x?2)2n?2?Cn(x?2)2n 63333
?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?
∴b1?b3?b5?
∴a1b1?a2b2?
12?b2n(x?2)2n 01n …………8分 ?b2n?1?0，b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?(4n?1)Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7Cn?11Cn?
0123n ?(4n?1)Cn3n?(4n?1)Cn]?1 则S?[(?1)Cn?3Cn?7Cn?11Cn?
9
nn?1S?[(4n?1)Cn?(4n?5)Cn?
012∴2S?(4n?2)(Cn?Cn?Cn?0?(?1)Cn]?1
n?Cn)?2
∴S?(2n?1)?2n?1 …………11分 ⑶(an?1)an?1?(2n?1)2n?1
2n?122n?C2n?1(2n)?C2n?1(2n)?1 12n22n?1?(2n)2n?1?C2?C2?n?1(2n)n?1(2n)
∵n?2
∴2n?4
∴(aan?1n?1)??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22
5?42n?C2
52n?1(2n) ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4
2?11?16n?8n4
10 16分 …………
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