首先，先求出对应齐次线性微分方程 y'+2y=0 的通解，即：
y_h(x) = c·e^(-2x)
其中 c 为任意常数。
接下来，需要求一个特解 y_p(x)。由于方程右边是一个二次多项式，可以猜测 y_p(x) 也是一个二次多项式，即：
y_p(x) = ax^2 + bx + c
将这个猜测的特解代入原方程中，得到：
2ax + 2a + 2bx^2 + 2c = 4x^2
比较系数，得到：
a = 0, b = 2, c = 2
因此，特解为：
y_p(x) = 2x + 2
将通解和特解相加，得到原方程的通解：
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c·e^(-2x) + 2x + 2
将初值条件 y|_x=0=4 代入通解中，解得：
c = 2
因此，原方程的特解为：
y(x) = 2e^(-2x) + 2x + 2
首先，我们求该一阶线性微分方程的通解。给定的方程为：
y' + 2y = 4x^2
这是一个一阶线性常微分方程，其形式为：
y' + p(x)y = q(x)
其中 p(x) = 2 和 q(x) = 4x^2。
求解积分因子：
积分因子 μ(x) = e^(∫p(x)dx) = e^(∫2dx) = e^(2x)用积分因子乘以原方程：
e^(2x)(y' + 2y) = e^(2x) * 4x^2对两侧积分求解y：
∫(d/dx) [y * e^(2x)] dx = ∫4x^2 * e^(2x) dx
这时，左侧是关于y的全导数：
(d/dx) [y * e^(2x)] = 4x^2 * e^(2x)
对右侧使用分部积分法求解（两次分部积分）：
令 u = x^2, dv = 4e^(2x) dx
du = 2x dx, v = 2e^(2x)
∫4x^2 * e^(2x) dx = x^2 * 2e^(2x) - ∫2x * 2e^(2x) dx
再次进行分部积分：
令 u = x, dv = 4e^(2x) dx
du = dx, v = 2e^(2x)
∫2x * 2e^(2x) dx = x * 2e^(2x) - ∫2e^(2x) dx = x * 2e^(2x) - e^(2x)
将结果代入原积分式中：
y * e^(2x) = x^2 * 2e^(2x) - x * 2e^(2x) + e^(2x) + C
y = x^2 - x + e^(-2x) + Ce^(-2x)
这就是一阶线性微分方程的通解。
现在，我们根据给定的初始条件求特解：
y|_(x=0) = 4
4 = 0^2 - 0 + e^(0) + C*e^(0)
4 = 1 + C
C = 3
所以，特解为：
y(x) = x^2 - x + e^(-2x) + 3e^(-2x) = x^2 - x + 4e^(-2x)
