Question

定积分换元积分法怎么代值？

Answer 1

例如三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx。

• 主要内容：

通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识，介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤。



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• 根式换元法：

设√(x+2)=t，则x=(t^2-2),代入得：

∫x√(x+2)dx

=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

=2∫t^2*(t^2-2)dt,

=2∫(t^4-2t^2)dt,

=2/5*t^5-4/3*t^3+C,

=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,



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• 根式部分凑分法

∫x√(x+2)dx

=∫x√(x+2)d(x+2),

=2/3∫xd(x+2)^(3/2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,



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• 整式部分凑分法

A=∫x√(x+2)dx,

=(1/2)∫√(x+2)dx^2,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,



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=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),

即：(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。



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• 不定积分概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。



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不定积分的计算

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。



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例如计算定积分∫[-1,1](x+1)dx的值

主要内容：

本文通过定积分直接计算法、定积分定理和定积分的几何意义等方法，介绍计算定积分∫[-1,1](x+1)dx值的主要思路和步骤。

方法一：定积分直接计算法

∫[-1,1](x+1)dx

=1/2x^2+x[-1,1]

=1/2(1^2-1^2)+2=2。

方法二：定积分定理计算法

定理：奇函数在对称区间上的积分为0。

∫[-1,1](x+1)dx

=∫[-1,1]xdx+∫[-1,1]dx

=0+x[-1,1]=2。




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方法三：定积分几何意义法

∫[-1,1](x+1)dx表示的是直线y=x+1与x1=-1,x2=1

围成区域的面积。可见此时是如图阴影部分的面积，

有：y1=-1*1+1=0,d2=1*1+1=2,

面积S=(1/2)*2*2=2,

即为所求的定积分值。

定积分：

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n 个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积分.

这里，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分。




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Answer 2

定积分换元积分法，也称为变量代换法，是一种计算定积分的方法。它的基本思路是，将被积函数中的自变量用其他变量表示出来，然后通过变量代换把原式转化成一个更容易求解的形式。其中，代换后的被积函数必须满足连续可导。
具体来说，设有一个定积分 ∫���(�)d�∫abf(x)dx，现在要进行变量代换 �=�(�)x=g(t)，则 �(�)f(x) 可以表示为 �(�(�))f(g(t))。根据换元积分法，有：
∫�−1(�)�−1(�)�(�(�))�′(�)d�∫g−1(a)g−1(b)f(g(t))g′(t)dt
其中 �−1(�)g−1(a) 和 �−1(�)g−1(b) 分别是 �a 和 �b 在 �=�(�)x=g(t) 中的原像，即 �(�−1(�))=�g(g−1(a))=a，�(�−1(�))=�g(g−1(b))=b。而 �′(�)g′(t) 则表示 �(�)g(t) 的导数。
在代换后，我们需要进行代值。代值的思路是，先将 �(�)g(t) 求出来，然后再将其代入原式中计算出 �(�(�))f(g(t))，最后代入公式进行计算。
举个例子，设要计算积分 ∫02�4−�2d�∫02x4−x2dx。这里可以进行变量代换 �=2sin⁡�x=2sint，则有：
∫02�4−�2d�=∫0�22sin⁡�4−4sin⁡2�⋅2cos⁡�d�=4∫0�2sin⁡�cos⁡2�d�∫02x4−x2dx=∫02π2sint4−4sin2t⋅2costdt=4∫02πsintcos2tdt
现在需要进行代值，首先计算 �(�)g(t)：
�(�)=2sin⁡�g(t)=2sint
然后再将其代入原式中：
�(�(�))=�(�)4−�2(�)=2sin⁡�4−4sin⁡2�=2cos⁡2�sin⁡�f(g(t))=g(t)4−g2(t)=2sint4−4sin2t=2cos2tsint
最后代入公式进行计算：
∫02�4−�2d�=4∫0�2sin⁡�cos⁡2�d�=2∫0�2cos⁡2�d(sin⁡�)=2sin⁡�cos⁡�∣0�2=1∫02x4−x2dx=4∫02πsintcos2tdt=2∫02πcos2td(sint)=2sintcost02π=1
因此，∫02�4−�2d�=1∫02x4−x2dx=1。