Question

为什么法向量垂直平面内的任意一条直线？

Answer 1

答 ：因为平面过直线，则平面的法向量一定垂直于平面内直线的切向量。一个平面垂直于另一个平面，则两个平面的法向量一定垂直。那么，所求平面的法向量既要垂直已知直线的切向量，又要垂直已知平面的法向量，我们知道，只要这两个已知向量不是平行向量或者在同一直线上，这两个已知向量的就可以组成一个平面（向量可以自由平移的特点所决定，等同于把两个异面直线平移到相交直线）；那么，垂直这一平面的向量，由这两个已知向量的叉积所决定。因此，取两者的叉积。
原理：如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

Answer 2

法向量垂直于平面内的任意一条直线是由平面的定义和法向量的性质决定的。
一个平面可以由一个点和与该点不共线的两个向量确定，这两个向量可以是平面内的任意两条不共线的直线。平面的法向量是与平面垂直的向量，它垂直于平面内的所有向量，包括平面内的任意一条直线。
因此，根据向量的性质，法向量与平面内的任意一条直线的内积为零，即它们的夹角为90度，因此法向量垂直于平面内的任意一条直线。
这是因为法向量定义了平面的方向，它垂直于平面内的所有向量，包括平面内的任意一条直线。这也是为什么法向量被用来表示平面的垂直方向的原因。