Question

求解一道高中函数题！谢谢～～

设a为实数，函数f(x)=x^2+|x-a|+1(x∈R).
1.讨论f(x)的奇偶性
2.当x大于等于a时，求f(x)的最小值.
要详细步骤，谢谢了！！
啊啊啊啊啊对不起改一下，应该是x小于等于a！！！～不好意思～

Answer 1

f(0)=1+|a|所以不可能为奇函数,所以只能考虑偶函数问题
反过来设它为偶函数
f(-x)=x^2 +|x+a|+1 =f(x)=x^2 +|x-a|+1,则a=0
所以当a=0时为偶函数,否则无奇偶性.

Answer 2

f(0)=1+|a|所以不可能为奇函数,所以只能考虑偶函数问题
反过来设它为偶函数
f(-x)=x^2 +|x+a|+1 =f(x)=x^2 +|x-a|+1,则a=0
所以当a=0时为偶函数,否则无奇偶性.

x>=a时

f(x)=x^2+x-a+1
=(x+1/2)^2-a+1-1/4
当a<=-1/2 能取最小值,为 -a+3/4
当a>-1/2 f(x)最小值在f(a)处 为a^2+1

Answer 3

因为x属于R,f(0)不为0,所以f(x)不是奇函数,当a不为0,又f(-x)=x^2+|-x-a|+1不恒等于f(x),所以不是偶函数,综上,为非奇非偶函数. 当a=0,易知为偶函数

x>=a,f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2+3/4-a
所以当a<=-1/2,x可取-1/2,最小为3/4-a
当a>-1/2,因为f(X)在-1/2到正无穷单调递增,所以当x=a,f(x)取最小,为a^2+1

Answer 4

解：
1：
由题得f(-x)=x^2+|-x-a|+1;
f(x)=x^2+|x-a|+1
所以，当a取不为0的任意值时，f(-x)既不等于-f(x)也不等于f(x)，所以无奇偶性；
当a为0时，f(-x)=x^2+|-x|+1；
f(x)=x^2+|x|+1
f(-x)= f(x)，为偶函数。
2：
当x大于等于a时，
f(x)=x^2+x-a+1
=(x+0.5)^2+0.75-a
又因为x大于等于a
所以当a>-0.5时，f(x)在-0.5到正无穷单调递增,所以当x=a,f(x)取最小,为a^2+1
当a=-0.5时，f(x)最小值为0.75-a
当a<-0.5时，f(x)最小值也为0.75-a

Answer 5

(1)易知仅a=0时:f(-x)=f(x)为偶函数
(2)去绝对值后为f(x)=x^2+x+1-a其中X>=a
次函数关于X=-1/2对称..分3种情况讨论
a=-1/2时.f(-1/2)即最小值
a<-1/2时,f(-1/2)即最小值
a>-1/2时,f(a)即最小值