Question

设A，B均为n阶实对称矩阵，且A正定.证明：

Answer 1

【答案】：由A正定，有可逆矩阵Q，使Q^TAQ=E.由于Q^TBQ仍为实对称矩阵，所以有正交矩阵R，使R^T(Q^TBQ)R=D=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)为对角矩阵，其中λ₁，λ₂，…，λ_n为实对称矩阵Q^TBQ的全部特征值.令P=QR，则因可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，知P为可逆矩阵，且有
P^TAP=(QR)^TA(QR)=R^T(Q^TAQ)R=R^TER=E
P^TBP=(QR)^TB(QR)=R^T(Q^TBQ)R=D=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)$由(1) 可得
A=(P^T)^-1EP^-1=(p^-1)^Tp^-1，
B=(P^T)^-1DP^-1=(P^-1)^TDP^-1，
(其中D为对角矩阵)
令M=P^-1，则M可逆，且使A=M^TM，B=M^TDM，故(2) 得证.