设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且f[f(x)]=x，证明存在一个ξ，使得f(ξ)=ξ．
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【答案】：令F(x)=f(x)-x，显然，F(x)在(-∞，+∞)上连续，因而在[x，f(x)]或[f(x)，x]上连续，注意到f[f(x)]=x，有
F(x)=f(x)-x，
F[f(x)]=f[(x)]-f(x)=x-f(x)．
若f(x)-x=0，命题得证
若f(x)-x≠0，则
F(x)F[f(x)]=-[f(x)-x]2＜0由零值定理，在(x，f(x))或(f(x)，x)内至少存在一个ξ，使得
F(ξ)=0，即f(ξ)=ξ
F(x)=f(x)-x，
F[f(x)]=f[(x)]-f(x)=x-f(x)．
若f(x)-x=0，命题得证
若f(x)-x≠0，则
F(x)F[f(x)]=-[f(x)-x]2＜0由零值定理，在(x，f(x))或(f(x)，x)内至少存在一个ξ，使得
F(ξ)=0，即f(ξ)=ξ
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