Question

2.求圆柱体x2+y2=2Rx包含在抛物面x2+y2=2Rz和xOy)平面之间那部分立体的体积o

Answer 1

要求包含在抛物面和 xOy 平面之间的圆柱体的体积，可以使用积分来求解。由题目中给出的方程，我们可以得到以下条件：
x^2 + y^2 = 2Rx (1) -- 圆柱体的侧面
x^2 + y^2 = 2Rz (2) -- 抛物面
将方程 (1) 中的 y 替换为 z，得到圆柱体的侧面在三维空间中的表示：
x^2 + z^2 = 2Rx
现在我们需要确定圆柱体的高度范围，即 z 的取值范围。将方程 (2) 中的 y 替换为 z，得到抛物面在三维空间中的表示：
x^2 + z^2 = 2Rz
解这个方程，可以得到抛物面的 z 范围为 0 ≤ z ≤ 2R。
因此，要计算圆柱体所在的立体体积，我们需要对圆柱体的截面面积进行积分，同时限定 z 的范围为 0 到 2R。
截面面积为 A(x) = πr^2，其中 r 是圆柱体的半径，由方程 (1) 可得 r = x/2。代入截面面积公式中，我们得到 A(x) = π(x/2)^2 = πx^2/4。
现在，我们可以计算体积 V：
V = ∫[0, 2R] A(x) dx
= ∫[0, 2R] πx^2/4 dx
= π/4 * ∫[0, 2R] x^2 dx
= π/4 * [x^3/3] [0, 2R]
= π/4 * (8R^3/3 - 0)
= 2πR^3/3
因此，包含在抛物面和 xOy 平面之间的圆柱体的体积为 2πR^3/3。