Question

密度函数为f,(y)=y>0记Z =min{X,Y},W =1 Z =Xy00 Z =Y(1)求Z

Answer 1

首先，我们有两个随机变量 X 和 Y，它们的密度函数分别为 f_X(x) 和 f_Y(y)。
然后，我们定义 Z = min{X, Y} 和 W = 1 - Z。
现在我们来求 Z 的密度函数。
首先，Z 取值范围为 [0, ∞)，我们可以将 Z 分解为两种情况：
1. 当 X ≤ Y 时，Z = X；
2. 当 X > Y 时，Z = Y。
对于第一种情况，我们可以用联合概率密度函数来表示 Z = X 的概率：
P(Z = X) = P(X ≤ Y) * P(X = X) = P(X ≤ Y) * f_X(X)。
对于第二种情况，我们可以用联合概率密度函数来表示 Z = Y 的概率：
P(Z = Y) = P(X > Y) * P(Y = Y) = P(X > Y) * f_Y(Y)。
由于 X 和 Y 是相互独立的，所以有 P(X ≤ Y) = P(X > Y) = 1/2。
因此，Z 的密度函数 f_Z(z) 可以表示为：
f_Z(z) = (1/2) * f_X(z) + (1/2) * f_Y(z)，其中 z > 0。
接下来，我们来求 W 的密度函数。
W = 1 - Z，所以 W 取值范围为 [0, 1]。
对于 W 的取值，可以分为两种情况：
1. 当 Z = X 时，W = 1 - X；
2. 当 Z = Y 时，W = 1 - Y。
所以 W 的密度函数 f_W(w) 可以表示为：
f_W(w) = P(W = 1 - X) * f_X(1 - w) + P(W = 1 - Y) * f_Y(1 - w)，其中 0 ≤ w ≤ 1。
综上所述，我们求得了 Z 和 W 的密度函数分别为：
f_Z(z) = (1/2) * f_X(z) + (1/2) * f_Y(z)，其中 z > 0。
f_W(w) = (1/2) * f_X(1 - w) + (1/2) * f_Y(1 - w)，其中 0 ≤ w ≤ 1。