Question

3.若随机变量(X ,Y )的联合概率密度为8xy,0xyl;其他求概率P(0<X <0.5,0<？

Answer 1

在问题中，我们有联合概率密度函数 f(x, y) = 8xy，其中 0 ≤ x ≤ y ≤ 1，而在其他地方 f(x, y) = 0。
现在，我们要求概率 P(0 < X < 0.5, 0 < Y < 1)。
为了计算这个概率，我们需要对概率密度函数在给定的区域上进行积分。概率密度函数 f(x, y) 是两个变量的函数，我们需要将其限制在所给区域上进行积分。
P(0 < X < 0.5, 0 < Y < 1) = ∫∫[0, 0.5] [0, 1] 8xy dxdy
首先，我们对 x 进行积分，取 x 的上下限 [0, 0.5]：
∫[0, 0.5] 8xy dx = 4y[x^2] [0, 0.5] = 2y
然后，我们对 y 进行积分，取 y 的上下限 [0, 1]：
∫[0, 1] 2y dy = [y^2] [0, 1] = 1
因此，概率 P(0 < X < 0.5, 0 < Y < 1) = 1。
这是因为该区域占据了整个联合概率密度函数 f(x, y) 的范围，所以其概率为 1。