Question

已知+a+和+b+可以为任何整数,+所有自然数中不能被6a+11b表示的有哪些?

Answer 1

根据裴蜀定理，对于任意给定的正整数$a$和$b$，关于$x$和$y$的线性不定方程$ax+by=c$有整数解当且仅当$c$是$a$和$b$的最大公约数的倍数。
因此，对于给定的正整数$a=6$和$b=11$，所有自然数中不能被$6a+11b=6\times 6+11\times 11=137$表示的数，即不满足线性不定方程$6x+11y=c$的自然数$c$。
接下来我们考虑如何求解不满足该方程的自然数$c$。根据裴蜀定理，该方程有整数解当且仅当$c$是$6$和$11$的最大公约数的倍数。因此，我们可以求出$6$和$11$的最大公约数，即$\gcd(6,11)=1$。由于$1$是任何正整数的约数，因此所有自然数都可以表示为$6x+11y+c\cdot \gcd(6,11)$的形式。因此，不能被表示为$6x+11y=137$的自然数不存在。
因此，所有自然数中不能被$6a+11b=137$表示的数是不存在的。