Question

如何求二阶导数的定积分

Answer 1

令 x = tanu， 则 dx = (secu)^2du
I = ∫√(1+x^2)dx = ∫(secu)^3du = ∫secudtanu
= secutanu - ∫secu(tanu)^2du = secutanu - ∫secu[(secu)^2-1]du
= secutanu - I + ln|secu+tanu|
I = (1/2)[secutanu + ln|secu+tanu|] + C
= (1/2)[x√(1+x^2) + ln|x+√(1+x^2)|] + C

Answer 2

要求一个函数在某一区间上的二阶导数的定积分，可以采用如下步骤：

1. 求出该函数的二阶导函数。

2. 将二阶导函数代入到定积分中，并确定积分区间。

3. 对积分进行计算。

具体解法如下：

1. 求出该函数的二阶导函数。

设函数为f(x)，则它的一阶导函数为f'(x)，二阶导函数为f''(x)。

2. 将二阶导函数代入到定积分中，并确定积分区间。

假设要求f(x)在区间[a,b]上的二阶导数的定积分，则积分表达式为：

∫[a,b] f''(x)dx

3. 对积分进行计算。

由于积分的区间是已知的，所以只需对f''(x)进行不定积分，然后将积分上下限代入即可。

如有必要，可以通过分部积分或换元法等方法进行积分。最终的结果就是f(x)在[a,b]上的二阶导数的值。

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