Question

为什么一个二阶常系数线性微分方程的通解是

Answer 1

二阶微分方程的3种通解公式是y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x，n阶微分方程就带有n个常数，Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)。

第一种是由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种是通解是一个解集包含了所有符合这个方程的解，n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。

第三种是先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解，特征方程为2r²+r-1=0，(2r-1)(r+1)=0，r=1/2或r=-1。故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)。

二阶微分方程

对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，我们就称为二阶微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。

在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。