Question

已知a^ n- b^ n=(a- b)[ a^(n-1)+ a^(n

Answer 1

求证：a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+...+b^(n-1)]
证明：用数学归纳法
当n=1时，左边=a-b=右边，成立
假设当n=k时，a^k-b^k=(a-b)[a^(k-1)+a^(k-2)b+a^(k-3)b^2+...+b^(k-1)]
当n=k+1时，a^(k+1)-b^(k+1)=a^(k+1)-ab^k+ab^k-b^(k+1)
=a(a^k-b^k)+(a-b)b^k
=(a-b)[a^k+a^(k-1)b+a^(k-2)b^2+...+ab^(k-1)]+(a-b)b^k
=(a-b)[a^k+a^(k-1)b+a^(k-2)b^2+...+ab^(k-1)+b^k]
成立
原题得证