Question

两个向量组等价是什么意思？

Answer 1

两个向量组等价意味着它们所生成的向量空间相同。换句话说，如果两个向量组等价，那么它们具有相同的基和维数。

具体来说，如果两个向量组A和B等价，则满足以下条件：
1. A和B中向量的线性组合能够生成相同的向量空间。
2. A和B的基的个数相同。
3. A和B的基所生成的向量空间的维数相同。

等价的向量组具有相同的线性关系，即它们的向量空间具有相同的结构和性质。这意味着从一个向量组中的向量可以线性表示为另一个向量组中的向量，反之亦然。

判断两个向量组是否等价时，需要比较它们的基和维数。如果两个向量组的基相同且维数相同，则它们是等价的。另外，通过矩阵的行变换或列变换，也可以判断两个向量组是否等价。

等价的向量组具有相同的线性性质，因此在求解线性方程组或研究向量空间时，等价的向量组可以相互替代使用。

Answer 2

秩相等的两个向量组不一定等价，等价的向量组包含的向量个数不一定相同。

等价向量组的性质

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

向量解释：

如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：，若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，则向量组（Ⅰ）={α1，α2}与向量组（Ⅱ）={β1，β2，β3}等价。

给定的条件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，这表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）线性表示，由定义即知（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

以上内容参考：百度百科-等价向量组