Question

线性代数方程组的零点存在唯一性定理

Answer 1

齐次线性方程组 Ax = 0 总有解;非齐次线性方程 Ax = b 当且仅当 r(A, b) = r(A) 时有解.非齐次线性方程 Ax = b 当 r(A, b) ≠ r(A) 时无解.齐次线性方程组 Ax = 0 当且仅当 r(A) = n 时有唯一解,即零解。

非齐次线性方程 Ax = b 当且仅当 r(A, b) = r(A) = n 时有唯一解.齐次线性方程组 Ax = 0 当 r(A) < n 时有无穷多解,即有非零解;非齐次线性方程 Ax = b 当 r(A, b) = r(A) < n 时有无穷多解。

解的存在唯一性定理是指方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义，另一方面由于能求得精确解的微分方程并不多，常微分方程的近似解法具有十分重要的意义，而解的存在唯一性又是近似解的前提，试想，如果解都不存在。

花费精力去求其近似解有什么意义呢？如果解存在但不唯一，但不知道要确定的是哪一个解，又要去近似的求其解，又是没有意义的。

解的存在唯一性定理一

定理1

如果函数f(x,y)在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程dy/dx=f(x,y);存在唯一的解y=φ(x)，定义于区间|x-x0|。

命题1

设y=φ(x)是方程的定义于区间x0。

命题2

对于所有的n，皮卡逐步逼近函数φn(x)在 x0。

命题3

函数序列{φn(x)} 在x0。

命题4

φn(x)是积分方程的定义于x0。

命题5

设ψ(x)是积分方程的定义于 x0。

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