Question

1×2×3×4×5×6×7×8×…×151×152未尾有几个零？

Answer 1

首先观察乘式中因数里有几对2和5。显然，因子中2的个数必然比5的个数多，因此只需要考虑5的个数。我们知道，一个数n在阶乘中贡献的因子5的个数等于：n÷5 + n÷5^2 + n÷5^3 + ... 直到n÷5^k为0，其中每个式子的结果都是向下取整。因此我们可以计算出阶乘中5的个数：
150÷5 + 150÷5^2 = 30 + 6 = 36
所以乘积尾部至少有36个0，但还需要考虑其他因子，特别是因子2。我们发现，2的倍数比5的倍数多很多，所以只需要考虑乘积中有多少个10的因子，即有多少组2和5。可以发现，每两个相邻的数中必然有一对2和5，因此可知乘积中有36组2和5，即至少有36个0。剩下需要考虑的是11、13等质数的因子，但很容易发现，这些质数的因子很少，因此构成的因式分解并不能再带来更多的0。所以，答案是36。