无理数有哪些数
无理数包括非完全平方数的平方根、π、e、圆周率等。
拓展资料：
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
无理数是与有理数相对的概念，指不可以表示为两个整数之比的实数。简单来说，无理数就是不能用分数或小数表示出来的实数。
最早被发现无理数是在公元前5世纪的希腊，当时的学者发现存在一些长度较短无法用整数组成的线段。这个发现打破了古希腊人以及欧几里得关于所有东西都可以由整数组成的信仰，并且启发了更多的探索无理数的工作。
无理数与有理数在性质上有许多不同之处。首先，无理数是无限不循环小数，而有理数则可以是有限的或无限循环小数。例如π和√2，都属于无理数，无论表达方式是分数还是小数，都无法精确表示它们的值。
另外，无理数没有表示式也就是没有一个明确的推导，只进一步进行金融数学和几何计算之后才得到了精确定义。
无理数在数学上具有很重要的应用。在几何中，无理数广泛用于勾股定理等一些重要的定理和公式中。
例如，在勾股定理a²+b²=c²中如果a和b是正整数，那么c就是一个无理数。在物理学中，无理数也经常用于描述有关物理量的数量。例如，在测量圆周率时，无理数的精度越高，计算出的值就越准确。
总之，无理数阐述了一个数字中的一种超越性质，突破了整数的局限，扩展了我们对数字和数学的认识。从历史上看，发现无理数的过程中还蕴藏着人类追求知识的渴望和对世界的深刻观察，不断开拓着人类思维的边界，为后来的数学科学创造了更广阔的空间.
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
基本介绍
中文名 ：无理数
外文名 ：Irrational number
别称 ：无限不循环小数
提出者 ：希伯索斯
套用学科 ：数学
性质 ：不能用分数进行表示
对应概念 ：有理数
所属范围 ：实数
定义,历史,证明方法,拓展,实例,
在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。 常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。 可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。 无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。 无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、 等。 而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。
毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。 公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相迳庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。 希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的构想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。 不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪义大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家克卜勒称之为“不可名状”的数。 然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。 分数=有限小数+无限循环小数，无限不循环小数是无理数
欧几里得《几何原本》中提出了一种证明无理数的经典方法： 证明: √2是无理数 假设 不是无理数 ∴ 是有理数 令 ( 、 互质且 , ) 两边平方得 即 通过移项，得到： ∴ 必为偶数 ∴ 必为偶数 令 则 ∴ 化简得 ∴ 必为偶数 ∴ 必为偶数 综上， 和 都是偶数 ∴ 、 互质，且 、 为偶数 矛盾 原假设不成立 ∴ 为无理数
证明 是无理数（整数 ） , 互素。 假设 则存在 则a为偶数，设 ， 为正整数 代人上式有 则b同样是偶数，与条件（ , ）为互质的最小整数是相互矛盾的 那么假设是不成立的 则 成立，那么 必为无理数。
如果正整数N不是完全平方数，那么 不是有理数（是无理数）。 证明：若假设 是有理数，不妨设 ，其中p与q都是正整数（不一定互质。若假定p、q互质则证法稍有变动）。 设 的整数部分为a，则有不等式 成立。两边乘以q，得 因p、q、a都是整数，p-aq也是一个正整数。 再在上述不等式的两边乘以 ，得 即： 显然，qN-ap也是一个正整数。 于是我们找到了两个新的正整数 和 ，它们满足 ，即 ，并且有 。 重复上述步骤，可以找到一系列的 使得 且 。因该步骤可以无限重复，意味着 均可无限减小，但这与正整数最小为1矛盾。 因此假设错误， 不是有理数。
定义
历史
证明方法
拓展
实例
无理数包括非完全平方数的平方根、π、e、圆周率等。
拓展资料：
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
无理数是与有理数相对的概念，指不可以表示为两个整数之比的实数。简单来说，无理数就是不能用分数或小数表示出来的实数。
最早被发现无理数是在公元前5世纪的希腊，当时的学者发现存在一些长度较短无法用整数组成的线段。这个发现打破了古希腊人以及欧几里得关于所有东西都可以由整数组成的信仰，并且启发了更多的探索无理数的工作。
无理数与有理数在性质上有许多不同之处。首先，无理数是无限不循环小数，而有理数则可以是有限的或无限循环小数。例如π和√2，都属于无理数，无论表达方式是分数还是小数，都无法精确表示它们的值。
另外，无理数没有表示式也就是没有一个明确的推导，只进一步进行金融数学和几何计算之后才得到了精确定义。
无理数在数学上具有很重要的应用。在几何中，无理数广泛用于勾股定理等一些重要的定理和公式中。
例如，在勾股定理a²+b²=c²中如果a和b是正整数，那么c就是一个无理数。在物理学中，无理数也经常用于描述有关物理量的数量。例如，在测量圆周率时，无理数的精度越高，计算出的值就越准确。
总之，无理数阐述了一个数字中的一种超越性质，突破了整数的局限，扩展了我们对数字和数学的认识。从历史上看，发现无理数的过程中还蕴藏着人类追求知识的渴望和对世界的深刻观察，不断开拓着人类思维的边界，为后来的数学科学创造了更广阔的空间.
