Question

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知 a1>0, a8,a9是方程 x^2+x-2023=？

Answer 1

由已知，可得
a8 = a1 + 7d （其中d为公差）
a9 = a1 + 8d
又因为Sn = (a1 + an) × n ÷ 2，所以
Sn = (a1 + a1 + (n-1)d) × n ÷ 2 = n × (2a1 + (n-1)d) ÷ 2
由于a8,a9是方程 x^2+x-2023=0的解，所以
a8 + a9 = -1
2a1 + 15d = -1
解得
a1 = (-1-15d)/2
代入 a8 = a1 + 7d 和 a9 = a1 + 8d 中，得
a8 = (-7d - 1) ÷ 2
a9 = (-6d - 1) ÷ 2
由题意可得
a8^2 + a9^2 = 2023
代入 a8 = (-7d - 1) ÷ 2 和 a9 = (-6d - 1) ÷ 2 中，得
(-7d - 1) ^2 + (-6d - 1) ^2 = 4 × 2023
化简可得
169d^2 + 26d - 503 = 0
解得d = 2或d = -3
当d = 2时，a1 = (-1-15d)/2 = -16，因此等差数列为 -16, -14, -12, ..., 10，代入可知只有a8 = -1，a9 = 23是方程 x^2+x-2023=0的解，因此答案为 -3。
当d = -3时，a1 = (-1-15d)/2 = 7，因此等差数列为 7, 4, 1, -2, -5, -8, -11, -14，代入可知只有a8 = -19，a9 = -22是方程 x^2+x-2023=0的解，因此答案为 -3。
因此，方程 x^2+x-2023=0的解为-3。