Question

正弦定理推导

Answer 1

正弦定理推导如下：

正弦定理是一种三角函数定理，描述了三角形中每个角的正弦与其相对的边成比例的关系。它是高中数学中涉及到的重要内容。

1.建立三角形ABC（需满足有一条边为直线段）（概念）

2.以BC边为底，做一个高AD（概念）

3.假设角A的内角平分线与BC相交于点E（定义角平分线）

4.四边形ABED是一个内切四边形，因此BD=DE(定义和性质内切四边形)

5.考虑三角形ACD与三角形ABD的正弦(引出正弦的定义)

6.在三角形ACD中：sin(C)=AD/AC(定义正弦)

7.在三角形ABD中：sin(B)=BD/AB(定义正弦)

8.观察三角形ABC,我们可以用角A所对边与角B所对边作为临边，用角C所对边作为对边得到两个特殊角的正弦比(定义正弦比)

9.根据勾股定理，在直角三角形ABD中，可以得到：(BD)^2+(AD)^2=(AB)^2

10.因为BD=DE，所以：(DE)^2+(AD)^2=(AB)^2(代入)

11.再次观察三角形ACD，可以用勾股定理得到：(AC)^2=(AD)^2+(CD)^2

12.回到第二步：sin(C)=AD/AC和第三步：sin(B)=BD/AB，分别代入上面的两个式子中(代入)

13.注意到因为BD=DE,所以BD/AB=DE/DA,是相等的，所以变成了一个方程组。

14.经过简单的处理之后，我们可以得到正弦定理：sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c

综上所述，正弦定理是通过建立内切四边形来推导得出的，它描述了三角形中每个角的正弦与其相对的边成比例的关系，即：三角形中任意两个角的正弦比是相等的。正弦定理在解决各种三角形问题时经常被使用，特别是当我们只能测量到三角形中某些角度时。