Question

第一张图第二十二题，第三张图画波浪线的地方，为什么A^3=2A呢？

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Answer 1

在给定的问题中，以下是对每个部分的解答：
(1) 要证明 β ≠ α + α2 + αs 是 A 的特征向量，我们需要证明 A(β) ≠ λ(β) 对于任何 λ 成立。我们有：
A(β) = A(α + α2 + αs)
= A(α) + A(α2) + A(αs)
= λ1(α) + λ2(α2) + λ3(αs)
而 λ(β) = λ(α + α2 + αs)
= λ(α) + λ(α2) + λ(αs)
由于 α, α2, αs 是 A 的特征向量，因此有：
A(α) = λ1(α)
A(α2) = λ2(α2)
A(αs) = λ3(αs)
因此，A(β) = λ1(α) + λ2(α2) + λ3(αs) = λ(α + α2 + αs) = λ(β)。
由于 A(β) = λ(β)，我们可以得出结论： β = α + α2 + αs 不是 A 的特征向量。
(2) 要证明 β，Aβ，A²β 线性无关，我们需要假设存在不全为零的实数 c₁，c₂，c₃，使得 c₁β + c₂Aβ + c₃A²β = 0。
将 β，Aβ，A²β 展开，我们得到：
c₁(α + α2 + αs) + c₂A(α + α2 + αs) + c₃A²(α + α2 + αs) = 0
我们可以重写上述表达式：
(c₁ + c₂λ₁ + c₃λ₁²)α + (c₁ + c₂λ₂ + c₃λ₂²)α2 + (c₁ + c₂λ₃ + c₃λ₃²)α₃ = 0
由于 α，α2，α3 是 A 的特征向量，且对应的特征值不同，那么必须有 c₁ + c₂λ₁ + c₃λ₁² = 0，c₁ + c₂λ₂ + c₃λ₂² = 0，c₁ + c₂λ₃ + c₃λ₃² = 0。
为了保证 c₁, c₂, c₃ 不全为零，必须有 λ₁，λ₂，λ₃ 互不相等。因此，我们可以得出结论：β，Aβ，A²β 线性无关。
(3) 根据题目给出的条件 A³β = 2AB，我们可以推导出特征值的关系。
由于 β = α + α2 + αs，我们有：
A²β = A²(α + α2 + αs)
= A(α + α2 + αs)
= A(α) + A(α2) + A(αs)
= λ₁(α) + λ₂(α2) + λ₃(αs)
以及 A³β = A(A²β)
= A(λ₁(α) + λ₂(α2) + λ₃(αs))
= λ₁A(α) + λ₂A(α2) + λ₃A(αs)
= λ₁²(α) + λ₂²(α2) + λ₃²(αs)
由于 A³β = 2AB，我们可以得到：
2AB = λ₁²(α) + λ₂²(α2) + λ₃²(αs)
这说明 λ₁²，λ₂²，λ₃² 是 A 的特征值。因此 A 的特征值为 ±√(λ₁²)，±√(λ₂²)，±√(λ₃²)。
(4) 要证明 AB 和 A²β 是方程组 (A² - 2E)x = 0 的基础解系，我们需要证明它们满足方程并且线性无关。
首先，我们验证 AB 满足方程。我们有：
(A² - 2E)AB = A³B - 2AB = A(2AB) - 2AB = 2A²B - 2AB = 2(AB - AB) = 0
因此，AB 是方程 (A² - 2E)x = 0 的一个解。
接下来，我们验证 A²β 满足方程。我们有：
(A² - 2E)A²β = A⁴β - 2A²β = A(2A³β) - 2A²β = 2A⁴β - 2A²β = 2(A²β - A²β) = 0
因此，A²β 是方程 (A² - 2E)x = 0 的一个解。
为了证明它们线性无关，我们假设存在不全为零的实数 c₁，c₂，使得 c₁(AB) + c₂(A²β) = 0。
由于 AB 和 A²β 是 A² - 2E 的两个不同的特征向量，对应的特征值都为零，因此它们线性无关。
综上所述，AB 和 A²β 是方程组 (A² - 2E)x = 0 的基础解系。

Answer 2

(1) 要证明 β = α₁ + α + α₃ 不是矩阵 A 的特征向量，我们需要证明 A(α₁ + α + α₃) ≠ λ(α₁ + α + α₃)，其中 λ 是 A 的任意特征值。
A(α₁ + α + α₃) = Aα₁ + Aα + Aα₃
由于 α₁, α, α₃ 是 A 的特征向量，我们有：
Aα₁ = λ₁α₁
Aα = λ₂α
Aα₃ = λ₃α₃
代入上式得到：
A(α₁ + α + α₃) = λ₁α₁ + λ₂α + λ₃α₃
另一方面，考虑 λ(α₁ + α + α₃)，其中 λ 是任意特征值。
λ(α₁ + α + α₃) = λα₁ + λα + λα₃
由于 α₁, α, α₃ 是 A 的特征向量，我们有：
λα₁ = λ₁α₁
λα = λ₂α
λα₃ = λ₃α₃
代入上式得到：
λ(α₁ + α + α₃) = λ₁α₁ + λ₂α + λ₃α₃
由于 λ₁, λ₂, λ₃ 是不同的特征值，因此 λ₁α₁ + λ₂α + λ₃α₃ 不等于 λ₁α₁ + λ₂α + λ₃α₃。
因此，β = α₁ + α + α₃ 不是矩阵 A 的特征向量。
(2) 要证明 β，Aβ，A²β 线性无关，我们需要证明对于任意不全为 0 的实数 k₁, k₂, k₃，有 k₁β + k₂Aβ + k₃A²β ≠ 0。
假设存在不全为 0 的实数 k₁, k₂, k₃，使得 k₁β + k₂Aβ + k₃A²β = 0。我们将其表示为矩阵向量形式：
k₁(α₁ + α + α₃) + k₂A(α₁ + α + α₃) + k₃A²(α₁ + α + α₃) = 0
展开并整理得到：
(k₁ + k₂λ₁ + k₃λ₁²)α₁ + (k₁ + k₂λ₂ + k₃λ₂²)α + (k₁ + k₂λ₃ + k₃λ₃²)α₃ = 0
由于 α₁, α, α₃ 是矩阵 A 的特征向量，它们线性无关。而特征向量对应的特征值不同，即 λ₁ ≠ λ₂ ≠ λ₃。
因此，上式只能在 k₁ + k₂λ₁ + k₃λ₁² = 0，k₁ + k₂λ₂ + k₃λ₂² = 0，k₁ + k₂λ₃ + k₃λ₃² = 0 全为 0 的情况下成立。
由于 λ₁ ≠ λ₂ ≠ λ₃，这是一个非齐次线性方程组，只有零解。
因此， k₁β + k₂Aβ + k₃A²β = 0 只有零解，即 β，Aβ，A²β 线性无关。
(3) 根据题目给定的条件 A³β = 2Aβ，我们可以推导出：
A³β - 2Aβ = 0
A(A²β - 2β) = 0
根据线性无关的性质，A²β - 2β 必然是矩阵 A 的特征向量对应的零特征值（特征值为 0）的倍数。
因此，特征值为 0 的多项式需要满足 A(Α²β - 2β) = 0。
(4) 由于 A(Α²β - 2β) = 0，可得到方程组 (Α² - 2E)x = 0，其中 E 是 3 阶单位矩阵。
结合之前的推导，A²β - 2β 是该方程的非零解。
因此，Αβ 和 Α²β 构成方程组 (Α² - 2E)x = 0 的基础解系。