Question

线性代数中,计算2N阶行列式

http://math.dhu.edu.cn/weblearning/math/xianxindaishu/xxds/ch1.3.pdf

工程数学线形代数,同济五版
P15 例11
书中解法我明白,但是有另解不知错在哪
既然是行列式,为什么不用直接定义法
主对角线减去副对角线
结果
(a的N次方*d的N次方)/(c的N次方*d的N次方)
因为其中未写出的元素为0

Answer 1

楼上那位显然不经思考：假设n=2，显然d=x^2-y^2
从行列式定义来看
当你第一行取x时，以后各行只能顺次取x，因为取y后最后一行将无数可取（最后一行的y与第一行x同列），对n个x，逆序数为0，所以值为x的n次方
当你第一行取y时，同理以后各行只能取y，到最后一行取最左边的y，那么其逆序数为n-1，所以当n=2，显然d=x^2-y^2，其中会带-号
没有第三种情况了，所以d=x^n+（-1）^（n-1）y^n

Answer 2

因为按照行列式的定义展开后，不是只有两个主对角线元素相乘、副对角线元素相乘非零，还有非零的项！

例如4阶行列式D4＝
a 0 0 b
0 a b 0
0 c d 0
c 0 0 d

展开后，
主对角线元素相乘aadd，符号为＋；
副对角线元素相乘bbcc，符号为＋；

除此之外，
四行元素分别选a、b、c、d，乘积也非0，符号为－
四行元素分别选b、a、d、c，乘积也非0，符号为－