Question

已知函数f(x)=ax^2+(2a-1)x-3 在区间[-3/2,2]上的最大值为3，求实数a的值

已知函数f(x)=ax^2+(2a-1)x-3 在区间[-3/2,2]上的最大值为3，求实数a的值
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Answer 1

一)a=0时,f(x)=-x+1,在[-3/2,2]上的最大值为5/2,不满足,所以a≠0

二)a≠0时,f(x)=ax^2+(2a-1)x+1为二次函数,即图像为抛物线
1)当a>0时,抛物线开口向上,对称轴为x=-1+1/2a,
区间[-3/2,2]的中心为7/4,所以分两种情况讨论:
(1)当抛物线的对称轴x=-1+1/2a≤7/4时,
即a≥2/11,最大值在x=2处取到,所以f(2)=4a+2(2a-1)+1=3,所以a=1/2,满足a≥2/11,所以a=1/2符合

(2)当抛物线的对称轴x=-1+1/2a>7/4时,
即0<a<2/11,最大值在x=-3/2处取到,所以f(-3/2)=3,所以a=-2/3,不满足0<a<2/11所以a=-2/3不符合

2)当a<0时,抛物线开口向下,对称轴为x=-1+1/2a<0,
区间[-3/2,2]的中心为7/4,分两种情况讨论:
(1)抛物线的对称轴x=-1+1/2a≤-3/2时:
即-1≤a<0时,最大值在x=-3/2处取到,所以f(-3/2)=3,解得a=-2/3,满足0>a>-1,所以a=-2/3符合

(2)抛物线的对称轴在[-3/2,2]中时,即-3/2<x=-1+1/2a<2时,
即a<-1
最大值在顶点处取到,即1-(2a-1)²/4a=3
解得a=-1/2,不满足a<-1,所以a=-1/2不满足.

综上可得a=1/2与a=-2/3

Answer 2

讨论
第一，若a=0时
f(x)=-x-3
在区间[-3/2,2]
最大值是-3/2
矛盾
所以a不能等于0
第二，若a<0
，函数的对称轴是x=
并且开口向下
，接下来给你说下方法：
你讨论对称轴，以下简称m
，
m大于等于2
m小于等于-3/2
还有m在
-3/2和2之间
这3种情况
切记画图
数形结合
，很容易算出来，其中一些不满足条件舍去。同理
讨论a>0这种情况
最后建议你
做2次函数含有参量的题目时
数形结合思想
很重要
其实数形结合思想
解决函数题型时有广泛用处。。把一些抽象的东西
变的很具体
显示的图形上。